عملگر نردبانی

دو عملگر X و N را با فرض ${\displaystyle [N,X]=cX,\quad }$

${\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}}$

به عبارت دیگر، اگر ${\displaystyle {|n\rangle }}$

اگر N یک عملگر هرمیتی باشد، در آن صورت c باید حقیقی باشد و الحاقی هرمیتی (Hermitian adjoint) آن در رابطه‌ی :${\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.\quad }$

نوسانگر هماهنگ

یکی از کاربردهای عملگرهای خلق و فنا، تحلیل نوسانگر هماهنگ است. برای این کار، عملگرهای خلق و فنا به صورت زیر تعریف می‌شوند:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\a^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}}$

در این صورت، نمایش عملگرهای مکان و تکانه به صورت زیر درمی‌آید:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&={\sqrt {{\frac {\hbar }{2}}{\frac {1}{m\omega }}}}(a^{\dagger }+a)\\{\hat {p}}&=i{\sqrt {{\frac {\hbar }{2}}m\omega }}(a^{\dagger }-a)~.\end{aligned}}}$

(عملگر a هرمیتی نیست، زیرا الحاقی آن a با خودش برابر نیست.) در این صورت، با اعمال این عملگرها روی ویژه‌حالت‌های انرژی |n⟩، ویژه‌مقدارهای انرژی به صورت زیر تغییر می‌کنند:

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\a|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}}$

بنابراین a یک کوانتوم انرژی به انرژی حالت اضافه و a به همان میزان انرژی آن را کاهش می‌دهد. به همین دلیل به این عملگرها، عملگر خلق و فنا نیز گفته می‌شود.