پراکندگی (آمار)

همهٔ شاخص‌های پراکندگی، اعدادی غیر منفی و حقیقی هستند که در صورت یکسان بودن همهٔ داده‌ها صفر می‌شوند و هرچه اختلاف داده‌ها از میانگین بیش‌تر باشد، این شاخص‌ها بزرگ‌تر می‌شوند. در ادامه بعضی از این شاخص‌های پراکندگی شرح داده شده‌اند.

دامنه و دامنهٔ بین چارکی

دامنه ساده‌ترین راه برای نشان دادن پراکندگی داده‌هاست که از تفاضل مقدار کمینهٔ آن‌ها از بیشینه به دست می‌آید. استفاده از دامنه هنگامی که در جامعهٔ آماری داده‌های پرت وجود دارد یا جامعه دارای استثناست، نمی‌تواند معیار مناسبی برای نشان دادن پراکندگی باشد. اشکال دیگر دامنه این است که به تعداد داده‌ها بستگی ندارد و با افزایش داده‌برداری نمی‌توان به اطلاعات دقیق‌تری از پراکندگی داده‌ها رسید.

یک راه برای اصلاح دامنه این است که یک چهارم داده‌ها را از دو طرف حذف کرد و دامنهٔ نصف باقی‌ماندهٔ داده‌ها را محاسبه کرد. به این شاخص دامنهٔ بین چارکی می‌گویند و آن را با ${\displaystyle IQR}$

واریانس و انحراف معیار

اختلاف هر یک از داده‌ها از میانگین فاصلهٔ آن‌ها را از میانگین نشان می‌دهد. محاسبهٔ اختلاف هر یک از داده‌ها معیار خوبی برای تعیین پراکندگی یک متغیر تصادفی حول میانگینش است اما جمع این اختلاف‌ها واضح است که همواره صفر می‌شود. برای حل این مشکل مجموع توان دوم این اختلاف‌ها را برابر واریانس تعریف کرده‌اند که محاسبهٔ آن برای متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته با میانگین ${\displaystyle \mu }$

واحد واریانس توان دوم متغیر تصادفی است. برای این که شاخص پراکندگی با متغیر تصادفی هم واحد شود، جذر واریانس را حساب کرده و به عنوان شاخص پراکندگی جدید به نام انحراف معیار تعریف می‌کنند. این شاخص مهم‌ترین و پرکاربردترین شاخص پراکندگی است.

میانه قدر مطلق انحراف

در محاسبهٔ واریانس و انحراف معیار از مقدار میانگین استفاده می‌شود و چون فاصلهٔ داده‌ها از میانگین به توان دو می‌رسد، داده‌های پرت تأثیر بیش‌تری روی آن می‌گذارند. برای حل این مشکل میانه قدر مطلق انحراف (به انگلیسی: Median Absolute Deviation) یا به اختصار ${\displaystyle MAD}$

${\displaystyle \mathrm{MAD}=\mathrm{median}\left(\left|X_i-\mathrm{median}(X)\right|\right)}$

با نمایش داده‌ها می‌توان بررسی کرد که پراکندگی یک متغیر تصادفی به کدام توزیع نزدیک‌تر است. به عنوان مثال، پراکندگی داده‌برداری‌های استاندارد شده، اندازه‌گیری آی‌کیو و سایر داده‌هایی را که از جمع چند متغیر تصادفی یکسان به دست می‌آیند و بر اساس تئوری انتظار می‌رود که از توزیع نرمال پیروی کنند، می‌توان از طریق واریانس تابع توزیع نرمال به دست آورد.

• سنجش‌های گرایش به مرکز
• کوواریانس
• توزیع احتمال