برای دو عضو g و h از یک گروه G، جابه‌جاگر آن دو عضو را به شکل ${\displaystyle [g,h]=g^{-1}{h}^{-1}gh}$

به یک عنصر گروه جابه‌جاگر می‌گوییم اگر بتوان آن را به فرم ${\displaystyle [g,h]}$

در اینجا چند قاعده ساده اما کاربردی برای جابه‌جاگرها معرفی می‌کنیم؛ فرض کنید g، h و s اعضای دلخواه گروه G باشند، آنگاه داریم:

• ${\displaystyle [g,h{]}^{-1}=[h,g]}$
• ${\displaystyle s[g,h]s^{-1}=[sg{s}^{-1},sh{s}^{-1}]}$
• اگر ${\displaystyle f:G\to H}$
  یک همریختی باشد، آنگاه ${\displaystyle f([g,h])=[f(g),f(h)]}$
  .

عبارت اول و دوم نشان می‌دهد که مجموعه جابه‌جاگرها در G تحت معکوس و تزویج بسته است. اگر در عبارت سوم H = G بگیریم، به این نتیجه می‌رسیم که مجموعه جابه‌جاگرها تحت هر خودریختی G پایا است. این در واقع تعمیم عبارت دوم است، زیرا برای بدست آوردن عبارت دوم می توانیم f را خودریختی تزویج s در G (${\displaystyle x\mapsto x^s}$

با این حال، حاصلضرب دو یا چند جابه‌جاگرها نیازی به جابه‌جاگرها بودن ندارد. یک مثال عمومی [a,b][c,d] در گروه آزاد روی a,b,c,d است. مشخص شده است که کمترین رتبه یک گروه متناهی که شامل دو جابه‌جاگر باشد که حاصلضرب آنها جابه‌جاگر نیست، ۹۶ است. در واقع دو گروه غیر یکریخت از مرتبه ۹۶ با این ویژگی وجود دارد.

مراجع

منابع