ریشهیابی معادلات چندجملهای
ریشهیابی معادلات روشهای یافتن ریشههای یک معادله (The roots of an equation) یعنی نقاط تلاقی نمودار آن معادله با محورهای مختصات میباشد. بهطور معمول از آن جا که توابع را در حالت استاندارد y نسبت به x تعریف میکنند، ریشههای یک معادله را نقاط برخورد معادله با محور xها در نظر میگیرند.
برای مثال ریشههای معادله فرضی
تشخیص معادله درجه اول
برای حل معادله درجه اول ابتدا باید در نظر گرفت که معادله درجه اول یک تساوی جبری است که بزرگترین توان متغیر آن یک باشد. البته بعضی از معادلات در ابتدا تشخیص درجه آنها مشکل است اما بعد از ساده کردن معادله این کار به راحتی قابل تشخیص است.
از سادهترین معادلات درجه اول عبارت زیر میباشد. اگر دروس ابتدایی را به خاطر داشته باشید برای آموزش مفهوم تقسیم این جای خالیها را به شما می دادند.
حل معادله درجه اول
برای پیدا کردن ریشههای x یک معادله ی درجه اول باید مقدار x را از حالت کلی معادلات درجه اول به دست آوریم. حالت کلی معادلات درجهٔ اول برابر
روش حل معادلات درجهٔ اول بدین گونه است:
چون میخواهیم نقاط تلاقی نمودار با محور xها را پیدا کنیم عرض آن (y) را برابر صفر قرار میدهیم و داریم:
با حل معادله فوق به ترتیب زیر مقدار x را بدست میآوریم:
و میبینیم که مقدار x همواره برابر است با حاصل تقسیم عرض از مبداً معادله بر شیب آن؛ بنابراین هنگامی که عرض از مبداً معادله صفر باشد ریشهٔ معادله نیز صفر است و نمودار معادله از مبداً مختصات خواهد گذشت.
حل معادلات درجه دوم
همانند حل معادلات درجهٔ اوّل برای پیدا کردن نقاط تقاطع معادله با محور
سپس با حل معادلهٔ فوق مقادیر
اگر ضرب چند عبارت برابر صفر شود، به این معنی است که حداقل یکی از عبارتها صفر است، و از آنجا که ما
برای حل معادله آن را تبدیل به مربع کامل میکنیم:
حالا از طرفین معادله جذر میگیریم تا مقدار
در نتیجه معادله دارای دو ریشهٔ زیر میباشد:
معمولاً عبارت
دلتا میتواند مقادیر زیر را اختیار کند:
- الف) که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه مثبت است، پس معادله دو ریشهٔ مختلف دارد.
- ب) که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه صفر است، پس هر دو جواب معادله یکی هستند و معادله اصطلاحاً ریشهٔ مضاعف دارد.
- ج) که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه عددی منفی است ومعادله ریشهمختلط دارد
حالتهای خاص و نکات معادلات درجهٔ دوم
در معادلهٔ کلی
۱) اگر
در معادلهٔ زیر، شرط است
و چون
و در ادامه:
۲) اگر حاصل جمع
اثبات (شرط:
طبق فرض :
خوب است که در بارهٔ ریشهٔ مضاعف بیشتر بدانیم:
از نظر جبری ریشهٔ مضاعف ریشهای است که زوج بار عبارت را صفر کند
و ریشهٔ ساده ریشهای است که فرد بار یک عبارت را صفر کند
((البته در معادلاتی نظیر
۳)
اثبات (شرط :
۴) اگر دلتای
اثبات (شرط :
نکته: همانطور که میدانید در صورتی که معادله دارای یک ریشه باشد یعنی تنها یک نقطهٔ تماس با محور xها دارد، در این صورت آن نقطه تنها میتواند نقطهٔ مینیمم یا ماکسیمم باشد، پس داریم:
با گرفتن مشتق داریم:
همچنین جالب است بدانید مجموع دو ریشه در معادلهٔ درجه دوم
حدس زدن حدود ریشهها
از روی تغییر علامت تابع
حدود ریشههای یک معادله را میتوان با چک کردن مقادیر مختلف در آن بدست آورد، اگر:
۱ - اگر تابع در بازهٔ (a,b) پیوسته باشد.
۲ - اگر به ازای دادن دو مقدار
استدلال روش و مثال
فرض کنیم که تابع f با ضابطهٔ
ای پیدا کردن حدود ریشههایش شروع به مقدار دهی میکنیم:
همانطور که میبینید تابع به ازای (f(-1 مثبت بوده و به ازای (f(0 منفی شده است، پس در این بین تغییر علامت داده و ریشه دارد.
با تکرار این روش میتوانیم به ریشهٔ معادله نزدیک و نزدیک تر شویم.
همچنین با استفاده از مشتق و روش نیوتن نیز بسته به شرایط میتوان همین کار را انجام داد که در ادامه بحث خواهد شد
حل معادلات درجهٔ چهار به بالا
بعد از ارائه گروه گالوا و نظریه گالوا توسط اواریست گالوا، دانشمند فرانسوی، آبل و روفینی در اثبات معروف خودشان اثبات کردند: ۱. فقط در معادلاتی میتوان تمام ریشهها را به صورت دقیق به دست آورد که گروه گالوا در آن حل پذیر باشند. ۲. در معادلات درجهٔ پنج به بالا (یعنی پنج، شش، هفت و…) نمیتوان همهٔ ریشهها را به صورت دقیق بر حسب ضرایب مجهول بدست آورد.
برای معادلات درجه بالاتر از روشهای عددگذاری همچون عددگذاری نیوتون استفاده میکنند.
منابع
- E. M. Landis, Second Order Equations of Elliptic and Parabolic Type, Publisher: Amer Mathematical Society , 1998