رمزنگاری الجمل

الگوریتم الجمل از سه قسمت تشکیل شده‌است.

• تولید کلید
• الگوریتم رمزنگاری
• الگوریتم رمزگشایی

تولید کلید

مولد کلید این‌گونه کار می‌کند:

• آلیس توسط مولد ${\displaystyle g}$
  یک گروه دوری ضربی بهینۀ ${\displaystyle G}$
  با مرتبۀ ${\displaystyle q}$
  تولید می‌کند.این گروه باید شرایطی داشته باشد که در ادامه به آن‌‌ها اشاره می‌کنیم.
• آلیس به تصادف یک ${\displaystyle x}$
  از ${\displaystyle \{1,\ldots ,q-1\}}$
  انتخاب می‌کند.
• آلیس ${\displaystyle h=g^{x}\,}$
  را محاسبه می‌کند.
• آلیس ${\displaystyle h}$
  را به همراه ${\displaystyle G}$
  ،${\displaystyle q}$
  و ${\displaystyle g}$
  به عنوان کلید عمومی منتشر می‌کند و ${\displaystyle x}$
  را به عنوان کلید خصوصی نزد خود نگه می‌دارد.

الگوریتم رمزنگاری

برای رمز کردن پیام ${\displaystyle m}$

• باب به تصادف یک ${\displaystyle y}$
  از ${\displaystyle \{1,\ldots ,q-1\}}$
  انتخاب می‌کند و ${\displaystyle c_{1}=g^{y}\,}$
  را حساب می‌کند.
• باب رمز مشترک ${\displaystyle s=h^{y}}$
  (که باید مخفی بماند) را محاسبه می‌کند.
• باب پیام ${\displaystyle m}$
  را به یک عضو از ${\displaystyle G}$
  مثل ${\displaystyle m'}$
  تبدیل می‌کند.
• باب سپس ${\displaystyle c_{2}=m'\cdot s}$
  را محاسبه می‌کند.
• باب در نهایت پیام رمزشدۀ ${\displaystyle (c_{1},c_{2})=(g^{y},m'\cdot h^{y})=(g^{y},m'\cdot (g^{x})^{y})\,}$
  را برای آلیس می‌فرستد.

در اینجا اگر شخصی ${\displaystyle m'}$

الگوریتم رمزگشایی

برای رمزگشایی پیام رمزی ${\displaystyle (c_{1},c_{2})\,}$

• آلیس رمز مشترک را محاسبه می‌کند: ${\displaystyle s=c_{1}^{x}}$
• سپس آلیس ${\displaystyle m'=c_{2}\cdot s^{-1}\,}$
  را محاسبه می‌کند که به وسیلۀ آن می‌تواند ${\displaystyle m}$
  را به‌دست آورد. در این‌جا ${\displaystyle s^{-1}}$
  عضو وارون ${\displaystyle s}$
  در ${\displaystyle G}$
  می‌باشد.

این الگوریتم درست کار می‌کند زیرا: ${\displaystyle c_{2}\cdot s^{-1}=m'\cdot h^{y}\cdot (g^{xy})^{-1}=m'\cdot g^{xy}\cdot g^{-xy}=m'}$

امنیت سیستم رمزنگاری الجمل به شرایط گروه ${\displaystyle G}$

سیستم رمزنگاری الجمل معمولاً در سیستم‌های رمزنگاری هیبریدی استفاده می‌شود. برای مثال، پیام توسط یک سیستم رمزنگاری متقارن رمز می‌شود و سپس از سیستم الجمل برای رمز کردن کلید متقارن استفاده می‌شود. زیرا سیستم‌های رمزنگاری نامتقارن مثل الجمل نسبت به سیستم‌های متقارن معمولاً سرعت پایین‌تری دارند و بنابراین با توجه به این‌که نسبت اندازۀ کلید به متن بسیار کوچک‌تر است این‌ کار از لحاظ زمانی بسیار بهینه‌تر است.

الگوریتم الجمل احتمالاتی کار می‌کند؛ به‌این معنی که رمزشدۀ یک متن ثابت، می‌تواند متن‌های متفاوتی باشد و دلیل آن‌هم انتخاب تصادفی مقدار ${\displaystyle y}$

رمزنگاری

برای رمز کردن یک متن توسط الجمل به دو عنصر ${\displaystyle g^{y}}$

رمزگشایی

در مرحلۀ رمزگشایی برای به‌دست آوردن متن اصلی از متن رمزی ${\displaystyle (c_{1},c_{2})}$

${\displaystyle s'=c_{1}^{q-1-x}=g^{y(q-1-x)}=g^{-xy}}$

(در این‌جا محاسبات توانی به پیمانۀ ${\displaystyle q-1}$

${\displaystyle s\cdot s'=g^{xy}\cdot g^{-xy}=1\Rightarrow s'=s^{-1}}$

• توابع درهم‌ساز
• الگوریتم‌های رمز استاندارد
• الگوریتم‌های کلید نامتقارن
• کلید عمومی
• کلید خصوصی
• الگوریتم‌های کلید متقارن
• امضای رقومی
• لگاریتم گسسته
• فرض دیفی-هیلمن
• رمزنگاری هیل
• اصول ششگانه کرکهف