دوره (نظریه اعداد)

یک دوره یا یک عدد دوره‌ای یک عدد مختلط است که بتوان آن را به عنوان حاصل یک انتگرال از یک تابع جبری بر روی یک ناحیه از ${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$

• ${\displaystyle \pi \in \mathcal{P}}$

• ${\displaystyle \ln 2\in \mathcal{P}}$

• به ازای هر ${\displaystyle s\in \mathbb{N}}$
  ، تابع زتای ریمان یک عدد دوره‌ای است. به یاد آورید که ${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}}$
  . با کمک گرفتن از بسط تیلور ${\displaystyle \ln (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}}$
  و یک استقرای ریاضی می‌توان دید که؛

• ${\displaystyle \overline{\mathbb{Q}}⊊\mathcal{P}⊊\mathbb{C}}$
• ${\displaystyle \mathcal{P}}$
  شماراست.

• این مطلب که ${\displaystyle \mathcal{P}}$
  شماراست و ${\displaystyle \mathbb{C}}$
  ناشمارا نشان می‌دهد که «بیشتر» از آنچه عدد دوره‌ای وجود دارد، عدد مختلط نادوره‌ای وجود دارد (برای نمونه «بیشتر» را می‌توان از دید مقایسهٔ عدد اصلی مجموعهٔ عددهای دوره‌ای و مجموعهٔ عددهای مختلط نادوره‌ای در نظر گرفت یا اندازهٔ لبگ این دو مجموعه در صفحهٔ مختلط و این دید که احتمال دوره‌ای بودن یک عدد مختلطِ به تصادف انتخاب‌شده چقدر است). اما تا به کنون فردی موفق نشده‌است که یک نمونه از عددهای نادوره‌ای را ارائه کند. برای اینکه بگوئیم عددی نادوره‌ای است باید ثابت کنیم که نمی‌توان آن را به شکل حاصل یک انتگرال با توصیف‌های یاد شده نوشت.

معروف‌ترین کاندیدهایی که حدس می‌رود نادوره‌ای باشند عبارت اند از ${\displaystyle \frac{1}{\pi }}$

• برای فاصلهٔ میان دو عدد جبری متفاوت، کران‌های عددی بر حسب درجه و ارتفاع چندجمله‌ای‌های کمین این دو عدد وجود دارد که به کمک آن می‌توان به صورت عددی برابر نبودن دو عدد جبری که ممکن است با رابطه‌های پیچیده داده شده باشند را بررسی کرد. پیرامون عددهای دوره‌ای باید توجه کرد که یک عدد دوره‌ای را می‌توان با تعداد زیادی فرمول انتگرالی گوناگون معرفی کرد. تا به کنون الگوریتمی که بتوان به کمک آن برابر نبودن دو عدد دوره‌ای را بررسی کرد ارائه نشده است.