حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 3 دقیقه
لینک کوتاه

توزیع وارن نرمال-ویشارت

در نظریه احتمالات و آمار توزیع وارون نرمال-ویشارت خانواده ای پیوسته از توزیع‌ها با 4 پارامتر است. این توزیع معمولاً در آمار بیزی زمانی که بردار میانگین و ماتریس کواریانس (عکس ماتریس دقت) نامعلوم باشند، کاربرد دارد.

normal-inverse-Wishart
نماد ( μ , Σ ) ∼ N I W ( μ 0 , λ , Ψ , ν ) {\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})\sim \mathrm {NIW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Psi }},\nu )}
پارامترها μ 0 ∈ R D {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}\in \mathbb {R} ^{D}\,}
پارامتر مکان (vector of عدد حقیقی)
λ > 0 {\displaystyle \lambda >0\,}
(real)
Ψ ∈ R D × D {\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}\in \mathbb {R} ^{D\times D}}
inverse scale matrix (pos. def.)
ν > D − 1 {\displaystyle \nu >D-1\,}
(real)
تکیه‌گاه μ ∈ R D ; Σ ∈ R D × D {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{D};{\boldsymbol {\Sigma }}\in \mathbb {R} ^{D\times D}}
ماتریس کوواریانس (pos. def.)
تابع چگالی احتمال f ( μ , Σ | μ 0 , λ , Ψ , ν ) = N ( μ | μ 0 , 1 λ Σ )   W − 1 ( Σ | Ψ , ν ) {\displaystyle f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Psi }},\nu )={\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},{\tfrac {1}{\lambda }}{\boldsymbol {\Sigma }})\ {\mathcal {W}}^{-1}({\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\Psi }},\nu )}

فهرست

  • ۱ تعریف
  • ۲ توزیع های مربوطه
  • ۳ سایر
  • ۴ منابع

تعریف

اگر متغیر میانگین را با توزیعی نرمال تعریف کنیم

μ | μ 0 , λ , Σ ∼ N ( μ | μ 0 , 1 λ Σ ) {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Sigma }}\sim {\mathcal {N}}\left({\boldsymbol {\mu }}{\Big |}{\boldsymbol {\mu }}_{0},{\frac {1}{\lambda }}{\boldsymbol {\Sigma }}\right)}

و همچنین متغیر ماتریس کواریانس را با توزیع ویشارت

Σ | Ψ , ν ∼ W − 1 ( Σ | Ψ , ν ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\Psi }},\nu \sim {\mathcal {W}}^{-1}({\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\Psi }},\nu )}

توزیع مشترک آن‌ها را به صورت زیر نمایش می‌دهیم

( μ , Σ ) ∼ N I W ( μ 0 , λ , Ψ , ν ) . {\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})\sim \mathrm {NIW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Psi }},\nu ).}

که عبارت است از:

f ( μ , Σ | μ 0 , λ , Ψ , ν ) = N ( μ | μ 0 , 1 λ Σ ) W − 1 ( Σ | Ψ , ν ) {\displaystyle f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Psi }},\nu )={\mathcal {N}}\left({\boldsymbol {\mu }}{\Big |}{\boldsymbol {\mu }}_{0},{\frac {1}{\lambda }}{\boldsymbol {\Sigma }}\right){\mathcal {W}}^{-1}({\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\Psi }},\nu )}

توزیع های مربوطه

  • توزیع نرمال-ویشارت
  • توزیع وارون نرمال-گاما
  • توزیع ویشارت وارونه

سایر

  1. ↑ Murphy, Kevin P. (2007). "Conjugate Bayesian analysis of the Gaussian distribution." [۱]

منابع

  • Bishop, Christopher M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer Science+Business Media.
  • Murphy, Kevin P. (2007). "Conjugate Bayesian analysis of the Gaussian distribution." [۲]
آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.