توزیع هندسی

فرض کنید آزمایش‌های مستقلی با احتمال موفقیت p، آن قدر تکرار می‌شود تا یک موفقیت به دست آید. اگر X تعداد آزمایش‌های لازم باشد، آنگاه:

${\displaystyle P\{X=n\}=(1-p{)}^{n-1}pn=1,2,3\dots }$

می دانیم شرط لازم و کافی برای X=n آن است که ابتدا، n-1 آزمایش شکست و n اُمین آزمایش موفقیت باشد. از آنجا که برآمدهای متوالی آزمایش‌ها بنا به فرض مستقل هستند داریم  :

${\displaystyle p_X(k)=\text{P}\{X=n\}=p(1-p{)}^{n-1}}$

هر متغیر تصادفی که تابع جرم احتمال به صورت بالا باشد را یک متغیر (فرایند) تصادفی هندسی با پارامتر p می نامیم.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\text{Pr}\{X=n\}=p\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^{n-1}=\frac{p}{1-(1-p)}=1}$

در نتیجه با احتمال ۱، یک موفقیت بالاخره اتفاق می افتد. هر متغیر تصادفی که تابع جرم احتمال به صورت بالا باشد را یک متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p می‌نامیم.

• فرض کنیم می خواهیم رمز عبور 8 کاراکتری یک کامپیوتر را حدس بزنیم. چند مرتبه باید این کار را تکرار کنیم؟
• فرض کنیم یک دارو به احتمال p سبب درمان شود، دارو روی چندمین بیمار مؤثر واقع می‌شود؟
• فرض کنیم احتمال برد یک تیم p باشد، چند مرتبه این تیم باید بازی کند تا یک بازی را ببرد ؟

قصیه: امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با

${\displaystyle \text{E}[X]=\frac{1}{p}}$

اثبات

می دانیم ${\displaystyle p_X(k)=(1-p{)}^{k-1}p}$

${\displaystyle \text{E}[X]=\sum _{x}x{p}_X(x)}$

پس با ترکیب دو رابطه ی بالا برای متغیر تصادفی هندسی داریم

${\displaystyle \text{E}[X]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k(1-p{)}^{k-1}p}$

حال اگر فرض کنیم

${\displaystyle F(p)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^k=\frac{1}{1-(1-p)}=\frac{1}{p}}$

داریم

${\displaystyle \frac{dF(p)}{dp}=-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k(1-p{)}^{k-1}=-\frac{1}{p^2}}$

در نتیجه

${\displaystyle \text{E}[X]=p\frac{1}{p^2}=\frac{1}{p}}$

قضیه: واریانس متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با

${\displaystyle \text{var}[X]=\frac{1-p}{p^2}}$

اثبات

فرض می کنیم پیشامد ${\displaystyle A=\{X=1\}}$

${\displaystyle \text{E}[X^2]=\text{E}[X^2|A]\text{P}(A)+\text{E}[X^2|B]\text{P}(B)}$

می‌دانیم

${\displaystyle \text{E}[X^2|A]=\text{E}[X^2|X=1]=1}$

و

${\displaystyle \text{E}[X^2|B]=\text{E}[X^2|X>1]=\text{E}[(X+1{)}^2]=\text{E}[X^2+2X+1]=\text{E}[X^2]+\frac{2}{p}+1}$

بنابراین

${\displaystyle \text{E}[X^2]=1\times p+\left(\text{E}[X^2]+\frac{2}{p}+1\right)(1-p)}$

${\displaystyle \text{E}[X^2]=\frac{2-p}{p^2}}$

در نهایت از آنجا که ${\displaystyle \text{var}[X]=\text{E}[X^2]-(\text{E}[X]{)}^2}$

${\displaystyle \text{var}[X]=\frac{2-p}{p^2}-\frac{1}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}}$

فرض کنیم می دانیم تعداد دفعاتی که سکه‌ای را اندخته ایم از n بیشتر است، احتمال اینکه سکه را بیش از n+m دفعه بی اندازیم تا شیر بیاید چقدر است ؟

${\displaystyle P(X>n+m|X>n)=\frac{P((X>n+m)\cap (X>m))}{P(X>n)}=\frac{P(X>n+m)}{P(X>n)}=\frac{(1-p{)}^{n+m}}{(1-p{)}^n}=(1-p{)}^m}$

پس تنها m بار پرتاب بعدی اهمیت دارد و n بار پرتاب اولیه بی‌ارزش می‌شود.

همچنین می‌توان ثابت کرد اگر یک متغیر تصادفی گسسته بی حافظه باشد، هندسی است. (عکس قضیه)

امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با:

${\displaystyle E[X]=\frac{1}{p}}$

اثبات

می‌دانیم:

${\displaystyle P_X(k)=(1-p{)}^{k-1}p}$

و:

${\displaystyle E[X]=\sum _{x}x{P}_X(x)}$

پس با ترکیب دو رابطهٔ بالا برای متغیر تصادفی هندسی داریم:

${\displaystyle E[X]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k(1-p{)}^{k-1}p}$

حال اگر فرض کنیم:

${\displaystyle F(p)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^{k-1}=\frac{1}{1-(1-p)}=\frac{1}{p}}$

داریم:

${\displaystyle \frac{dF(p)}{dp}=-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k(1-p{)}^{k-1}=-\frac{1}{p^2}}$

در نتیجه:

${\displaystyle E[X]=p\frac{1}{p^2}=\frac{1}{p}}$

واریانس متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با:

${\displaystyle Var[X]=\frac{1-p}{p^2}}$

اثبات

فرض می‌کنیم پیشامد ${\displaystyle A=\{X=1\}}$

با توجه به اینکه A و B افرازهای فضای نمونه ی ما هستند، داریم:

${\displaystyle E[X]=E[X|A]P(A)+E[X|B]P(B)}$

${\displaystyle E[X^2]=E[X^2|A]P(A)+E[X^2|B]P(B)}$

در نتیجه:

${\displaystyle E[X^2|A]=E[X^2|X=1]=1}$

و:

${\displaystyle E[X^2|B]=E[X^2|X>1]=E[(X+1{)}^2]=E[X^2+2X+1]=E[X^2]+\frac{2}{p}+1}$

پس:

${\displaystyle E[X^2]=1\ast p+(E[X^2+\frac{2}{p}+1)(1-p)}$

${\displaystyle E[X^2]=\frac{2-p}{p^2}}$

در نهایت از آنجا که می‌دانیم ${\displaystyle Var[X]=E[X^2]-(E[X]{)}^2}$

${\displaystyle Var[X]=\frac{2-p}{p^2}-\frac{1}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}}$

• Wikipedia contributors, "Geometric distribution," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometric_distribution&oldid=340890918 (accessed January 30, 2010).
• Introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross
• A First Course In Probability 8Edition-Sheldon Ross
• Athanasios Papoulis-probability and statistics