تابع محدب
در ریاضیات، تابع کوژ (به انگلیسی: Convex Function) (یا تابع محدب)، تابع حقیقی-مقداری است که روی بازه n-بعدی تعریف شده و پاره خط بین هر دو نقطه از نمودار آن بالای نمودار بین آن دو نقطه قرار گیرد. به طور معادل، یک تابع کوژ است اگر اپیگراف (مجموعه نقاط رو یا بالای نمودار تابع) آن مجموعه ای کوژ باشد. تابع تک متغیره، دوبار دیفرانسیلپذیر است اگر و تنها اگر مشتق دوم آن روی تمام دامنه نا-منفی باشد. مثالهای شناخته شده از توابع کوژ تک-متغیره شامل تابع مربعی
توابع کوژ نقش مهمی را در بسیاری از مباحث ریاضی بازی می کنند. بهخصوص در مطالعه مسائل بهینهسازی که توسط خواص مناسبی از بقیه توابع متمایز می شوند. به عنوان مثال، تابع اکیداً کوژ روی یک مجموعه باز، بیش از یک مینیمم ندارد. حتی در فضاهای بی نهایت بعدی، تحت فرضهای مناسب اضافی، توابع کوژ هنوز هم خواص خود را حفظ کرده و نتیجتاً جزو شناخته شده ترین تابعیها در حساب تغییرات اند. در نظریه احتمالات، وقتی توابع کوژ را بر روی امید ریاضی یک متغیر تصادفی اعمال می کنند، همیشه از بالا توسط امید ریاضی تابع کوژ آن متغیر تصادفی محدود می شود، یعنی کران بالای آن این مقدار است یا به بیان دقیق تر:
تعریف
فرض کنیم
اگر در تعریف بالا تساوی را برداریم آنگاه
خاصیتها
جستارهای وابسته
- مجموعه کوژ
- بهینهسازی محدب
- تابع کاو
ارجاعات
- ↑ «از اصطلاحات مورد استفادهٔ پژوهشکدهٔ آمار». بایگانیشده از اصلی در ۱۸ فوریه ۲۰۱۴. دریافتشده در ۱۹ دسامبر ۲۰۱۴.
- ↑ «فرهنگستان زبان و ادب فارسی». www.persianacademy.ir. بایگانیشده از اصلی در ۴ دسامبر ۲۰۱۴. دریافتشده در ۲۰۱۶-۱۰-۱۴.
- ↑ "Lecture Notes 2" (PDF). www.stat.cmu.edu. Retrieved 3 March 2017.
- ↑ Donoghue, William F. (1969). Distributions and Fourier Transforms. Academic Press. p. 12. ISBN 9780122206504. Retrieved August 29, 2012.
- ↑ Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization (pdf). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. Retrieved October 15, 2011.
منابع
- Bertsekas, Dimitri (2003). Convex Analysis and Optimization. Athena Scientific.
- Borwein, Jonathan, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.
- Donoghue, William F. (1969). Distributions and Fourier Transforms. Academic Press.
- Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, and Lemaréchal, Claude. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.
- Krasnosel'skii M.A., Rutickii Ya.B. (1961). Convex Functions and Orlicz Spaces. Groningen: P.Noordhoff Ltd.
- Lauritzen, Niels (2013). Undergraduate Convexity. World Scientific Publishing.
- Luenberger, David (1984). Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley.
- Luenberger, David (1969). Optimization by Vector Space Methods. Wiley & Sons.
- Rockafellar, R. T. (1970). Convex analysis. Princeton: Princeton University Press.
- Thomson, Brian (1994). Symmetric Properties of Real Functions. CRC Press.
- Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. pp. xx+367. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.