تابعگون (نظریه رسته‌ها)

فرض کنید ${\displaystyle \mathcal{C}}$

• به هر شیء ${\displaystyle X\in Ob(\mathcal{C})}$
  یک شیء ${\displaystyle F(X)\in Ob(\mathcal{D})}$
  نظیر شود. به بیان دیگر اگر ${\displaystyle X}$
  شیئی از ${\displaystyle \mathcal{C}}$
  باشد، ${\displaystyle F(X)}$
  شیئی از ${\displaystyle \mathcal{D}}$
  خواهد بود.
• برای هر مورفیسم ${\displaystyle f:X\to Y}$
  در ${\displaystyle \mathcal{C}}$
  ، یک مورفیسم ${\displaystyle F(f):F(X)\to F(Y)}$
  در ${\displaystyle \mathcal{D}}$
  . به سخن دیگر، ${\displaystyle F}$
  به هر مورفیسم در رده ${\displaystyle \mathcal{C}}$
  یک مورفیسم در رده ${\displaystyle \mathcal{D}}$
  نظیر می کند به گونه ای که:

۱. برای هر ${\displaystyle X\in Ob(\mathcal{C})}$

۲. برای هر دو مورفیسم ${\displaystyle f:X\to Y}$

این دو شرط به زبان دیگر می گویند که یک عملگر ${\displaystyle F}$

تابعگون پادوردا

در تعریف بالا از تابعگون، به یک پیکان ${\displaystyle f:X\to Y}$

یک نگاشت ${\displaystyle F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}}$

• به هر سازه ${\displaystyle X\in \mathcal{C}}$
  یک سازه ${\displaystyle F(X)\in \mathcal{D}}$
  نظیر شود. به زبان دیگر اگر ${\displaystyle X}$
  سازه ای (شیء) از ${\displaystyle \mathcal{C}}$
  باشد، ${\displaystyle F(X)}$
  سازه ای از ${\displaystyle \mathcal{D}}$
  خواهد بود.
• برای هر ریختار یا پیکان ${\displaystyle f:X\to Y}$
  در ${\displaystyle \mathcal{C}}$
  ، یک مورفیزم ${\displaystyle F(f):F(Y)\to F(X)}$
  در ${\displaystyle \mathcal{D}}$
  . به سخن دیگر، ${\displaystyle F}$
  به هر پیکان در دسته ${\displaystyle \mathcal{C}}$
  یک پیکان در دسته ${\displaystyle \mathcal{D}}$
  نظیر می کند به گونه ای که:

۱. برای هر ${\displaystyle X\in Ob(\mathcal{C})}$

۲. برای هر دو مورفیسم ${\displaystyle f:X\to Y}$

در تقابل با تابعگون پادوردا، به عملگری که نخست تعریف شد تابعگون هموردا می گوییم.

• تابعگون ثابت: اگر ${\displaystyle \mathcal{C}}$
  یک دسته دلخواه باشد، تعریف کنید: ${\displaystyle F:\mathcal{C}\to \mathcal{C}}$
  بطوریکه برای هر ${\displaystyle X\in Ob(\mathcal{C})}$
  ، ${\displaystyle F(X)=X}$
  و برای هر پیکان ${\displaystyle f:X\to Y}$
  در ${\displaystyle \mathcal{C}}$
  تعریف کنید: ${\displaystyle F(f)=f}$
  .
• فرض کنید ${\displaystyle Gr}$
  رسته گروه‌ها و ${\displaystyle Set}$
  رسته مجموعه‌ها باشد. فرض کنید ${\displaystyle G\in Gr}$
  یک گروه باشد. آنگاه تعریف کنید: ${\displaystyle F:Gr\to Set}$
  به گونه ای که:${\displaystyle F(G)=G}$
  . همچنین اگر ${\displaystyle F:G\to H}$
  یک همریختی گروهی (یعنی یک ریختار در رده ${\displaystyle Gr}$
  )باشد، تعریف کنید: ${\displaystyle F(f)=f:G\to H}$
  به عنوان یک تابع میان دو مجموعه ${\displaystyle G}$
  و ${\displaystyle H}$
  . یعنی عملگر ${\displaystyle F}$
  به یک گروه ${\displaystyle G}$
  ، مجموعه ${\displaystyle G}$
  و به یک همریختی ${\displaystyle f:G\to H}$
  ، تابع ${\displaystyle f:G\to H}$
  را نظیر می کند. به سخن دیگر، ${\displaystyle F}$
  ساختار گروهی ${\displaystyle G}$
  و ساختار همریختی ${\displaystyle f}$
  را فراموش می کند. به همین دلیل، به این تابعگون، تابعگون فراموشکار می گوییم.

تابعگون فراموشکار را می توان میان هر دو رسته ای که یکی ساختاری بیش از دیگری دارد - با فراموش کردن آن ساختار اضافه - تعریف کرد.

• فرض کنید ${\displaystyle To{p}_0}$
  رسته فضاهای توپولوژیک به همراه یک نقطه ممتاز باشد. یک شیء در این دسته به صورت ${\displaystyle (X,x_0)}$
  است که ${\displaystyle X}$
  یک فضای توپولوژیک و ${\displaystyle x_0\in X}$
  نقطه ای از ${\displaystyle X}$
  است. یک مورفیزم (ریختار یا پیکان) ${\displaystyle f:(X,x_0)\to (Y,y_0)}$
  در این دسته عبارت است از یک تابع پیوسته ${\displaystyle f:X\to Y}$
  به گونه ای که: ${\displaystyle f(x_0)=y_0}$
  . عملگر${\displaystyle {\pi }_1:To{p}_0\to Gr}$
  را از این رسته به رسته گروه ها چنین تعریف می کنیم: برای هر

${\displaystyle (X,x_0)\in Ob(To{p}_0)}$