برنامه لنگلندز

در ریاضیات، برنامه لنگلندز شبکه ای از حدس های مؤثر و بلند پروازانه ای در مورد ارتباطات بین نظریه اعداد و هندسه می باشد. این برنامه توسط رابرت لنگلندز (1967, 1970)، پیشنهاد شد که به دنبال ارتباط دادن گروه های گالوا در نظریه جبری اعداد به فرم های اتومورفیک و همچنین ارتباط دادن نظریه نمایش گروه های جبری روی میدان های موضوعی و آدل ها می باشد. این برنامه به عنوان بزرگترین پروژه در تحقیقات ریاضیات نوین دیده شده به گونه ای که ادوارد فرانکل از آن به عنوان "نوعی برنامه عظیم متحد سازی ریاضیات" یاد کرده است.

پیش زمینه

از نگاهی باز، این برنامه را می توان محصولی از ایده های موجود دید: فلسفه فرم های کاسپی چند سال قبل تر توسط هاریش-چاندرا و گلفاند (1963) در کار و رهیافت هاریش-چاندرا بر روی گروه های نیمه ساده لی، و بر حسب عبارت های فنی در فرمول تریس سلبرگ و دیگران فرموله بندی شده بود.

نکته بسیار جدید کارهای لنگلندز در کنار عمق فنی، ارتباط مستقیمشان با نظریه اعداد به همراه ساختار منظم و غنیشان (که به آن اصطلاحاً خاصیت تابعگونی می گویند) بود.

به عنوان مثال، در کارهای هاریش-چاندرا می توان این اصل را یافت که اگر بتوان کاری بر روی یک نیم گروه لی یا گروه کاهشی انجام داد را باید بتوان بر روی تمام آن ها نیز تعمیم داد. لذا، زمانی که نقش برخی از گروه های لی بعد پایین چون $GL(2)$

در نظریه فرم های مدولار شناخته شد، و با شناختی که از

GL(1)

در نظریه کلاس میدانی از قبل موجود بود، حداقل راه برای فرضیه سازی کلی تر در مورد

GL(n)

وقتی

n<2

باز شد.

ایده فرم کاسپی از دل کاسپ های روی خم های مدولار (پیمانه ای) بیرون آمد، اما در نظریه طیفی معنای "طیف گسسته" را در مقایسه با "طیف پیوسته" از سری‌های آیزنشتاین را می داد. برای گروه های لی بزرگتر این قیاس بسیار فنی تر می شود، چرا که زیرگروه های سهموی تعدد بیشتری دارند.

در تمامی رهیافت های مذکور، کمبودی در روش های فنی وجود نداشت. به گونه ای که این روش های فنی طبیعتی استقرایی داشته و بر اساس تجزیه های لوی (به انگلیسی: Levi decompositions) و دیگر روش ها بنیان نهاده شده بودند، اما این حوزه مطالعاتی آن زمان و هم اکنون نیز بسیار محتاج فنون جدید است.

از جهت فرم های مدولار، مثال هایی چون فرم های مدولار هیلبرت، فرم های مدولار شیگل و سری های تتا از قبل موجود بودند.

پانویس

↑ "Math Quartet Joins Forces on Unified Theory". Quanta. December 8, 2015.
↑ Frenkel, Edward (2013). Love & Math. ISBN 978-0-465-05074-1. All this stuff, as my dad put it, is quite heavy: we've got Hitchin moduli spaces, mirror symmetry, A-branes, B-branes, automorphic sheaves... One can get a headache just trying to keep track of them all. Believe me, even among specialists, very few people know the nuts and bolts of all elements of this construction.

منابع

Arthur, James (2003), "The principle of functoriality", American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 40 (1): 39–53, doi:10.1090/S0273-0979-02-00963-1, ISSN 0002-9904, MR 1943132
Bernstein, J.; Gelbart, S. (2003), An Introduction to the Langlands Program, Boston: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-3211-2
Gelbart, Stephen (1984), "An elementary introduction to the Langlands program", American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 10 (2): 177–219, doi:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6, ISSN 0002-9904, MR 0733692
Frenkel, Edward (2005). "Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory". arXiv:hep-th/0512172.
Gelfand, I. M. (1963), "Automorphic functions and the theory of representations", Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm, 1962), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, pp. 74–85, MR 0175997, archived from the original on 17 July 2011, retrieved 18 January 2021
Harris, Michael; Taylor, Richard (2001), The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, Annals of Mathematics Studies, vol. 151, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09090-0, MR 1876802
Henniart, Guy (2000), "Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL(n) sur un corps p-adique", Inventiones Mathematicae, 139 (2): 439–455, Bibcode:2000InMat.139..439H, doi:10.1007/s002220050012, ISSN 0020-9910, MR 1738446
Kutzko, Philip (1980), "The Langlands Conjecture for Gl₂ of a Local Field", Annals of Mathematics, 112 (2): 381–412, doi:10.2307/1971151, JSTOR 1971151
Langlands, Robert (1967), Letter to Prof. Weil
Langlands, R. P. (1970), "Problems in the theory of automorphic forms", Lectures in modern analysis and applications, III, Lecture Notes in Math, vol. 170, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 18–61, doi:10.1007/BFb0079065, ISBN 978-3-540-05284-5, MR 0302614
Laumon, G.; Rapoport, M.; Stuhler, U. (1993), "D-elliptic sheaves and the Langlands correspondence", Inventiones Mathematicae, 113 (2): 217–338, Bibcode:1993InMat.113..217L, doi:10.1007/BF01244308, ISSN 0020-9910, MR 1228127
Scholze, Peter (2013), "The Local Langlands Correspondence for GL(n) over p-adic fields", Inventiones mathematicae, 192 (3): 663–715, arXiv:1010.1540, Bibcode:2013InMat.192..663S, doi:10.1007/s00222-012-0420-5

[1] "Math Quartet Joins Forces on Unified Theory". Quanta. December 8, 2015.

[2] Frenkel, Edward (2013). Love & Math. ISBN 978-0-465-05074-1. All this stuff, as my dad put it, is quite heavy: we've got Hitchin moduli spaces, mirror symmetry, A-branes, B-branes, automorphic sheaves... One can get a headache just trying to keep track of them all. Believe me, even among specialists, very few people know the nuts and bolts of all elements of this construction.