ارتفاع (مثلث)

ارتفاع و پیرامون مثلث

برای هر مثلثی با اضلاع a, b، c و نصف محیط برابر با s = (a+b+c) / 2 طول ارتفاع رسم شده از رأس a برابر است با:

${\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.}$

این نتیجه از فرمول هرون بدست آمد.

دایرهٔ محاطی

فرض کنید مثلثی با اضلاع a, b، c و ارتفاع‌های h_a, h_b, و h_c داریم. اگر شعاع دایرهٔ محاطی را r بنامیم، رابطهٔ زیر برقرار خواهد بود:

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}$

دایرهٔ محیطی

اگر ارتفاع رسم شده از یک رأس را h_a، دو ضلع دیگر را به ترتیب b و c و شعاع دایرهٔ محیطی را R بنامیم. آنگاه داریم:

${\displaystyle h_{a}={\frac {bc}{2R}}.}$

نقطهٔ درونی

اگر p₁, p₂, و p₃ به ترتیب فاصلهٔ نقطهٔ دلخواه P از اضلاع مثلث باشند و h₁, h₂, و h₃ شعاع‌های متناظر باشند، آنگاه رابطهٔ زیر درست خواهد بود:

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.}$

مساحت

اگر ارتفاع‌های رسم شده از رأس‌های a, b و c به ترتیب ${\displaystyle h_{a}}$

${\displaystyle \mathrm {Area} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

نقطه‌ای دلخواه روی ارتفاع

اگر E نقطه‌ای دلخواه بر روی ارتفاع AD از مثلث ABC باشد آنگاه:

${\displaystyle AC^{2}+EB^{2}=AB^{2}+CE^{2}}$

مثلث‌های ویژه

مثلث متساوی الاضلاع

برای هر نقطهٔ دلخواه P در یک مثلث متساوی‌الاضلاع، مجموع خط‌های عمود رسم شده از آن نقطه بر روی اضلاع مثلث برابر است با طول ارتفاع مثلث. به این مطلب، قضیهٔ ویویانی می‌گویند.

مثلث قائم‌الزاویه

در یک مثلث قائم‌الزاویه، با فرض ارتفاع‌های h_a, h_b, و h_c (واضح است که دو ارتفاع خود همان دو ضلع مثلث اند) رابطهٔ زیر میان سه ارتفاع مثلث برقرار است:

${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{h_{c}^{2}}}.}$

مرکز ارتفاعی

به محل همرسی ارتفاع‌ها مرکز ارتفاعی مثلث گویند(${\displaystyle H}$

مثلث پادک

اگر محل برخورد ارتفاع‌ها با اضلاع به‌ترتیب ${\displaystyle a,b,c}$

• میانه مثلث
• نیمساز
• عمودمنصف