میانه مثلث

هر میانه ی یک مثلث، از مرکزوار مثلث عبور می کند که به آن مرکز ثقل نیز می گویند، چرا که مرکز جرم شیء مثلثی ایده آل، با ضخامت بی نهایت نازک، با مرکزوار یکی می شود. ازین رو، یک شیء مثلثی آیده آل که ذکر آن رفت، در مرکزوار به تعادل می رسد. فاصله مرکزوار از رأسی که از آن خارج می شود دو برابر فاصله آن تا ضلعی است که با آن برخورد می کند.

هر میانه، مساحت مثلث را نیز همچون طول اضلاع آن به دو نیمه مساوی تقسیم بندی می کند. به همین دلیل است که اگر مثلثی را با چگالی یک دست بسازیم، مرکز ثقل آن همان محل برخورد میانه های مثلث می شود، به همین دلیل برخی مواقع به مرکزوار یا محل برخورد میانه های مثلث، مرکز ثقل مثلث هم می گویند(غیر از سه میانه، هیچ خط دیگری که از مرکزوار، یا مرکز ثقل عبور کند، مساحت مثلث را به دو نیم تقسیم نمی کند، هرچند که خطوط دیگر که از خارج مرکزوار عبور می کنند ممکن است مساحت مثلث را به دو نیم تقسیم کنند). سه میانه مثلث را به شش مثلث کوچکتر با مساحت های برابر تقسیم بندی می کنند.

طول میانه ها را می توان از طریق قضیه آپولونیوس بدست آورد:

${\displaystyle m_a=\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}},}$

${\displaystyle m_b=\sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}},}$

${\displaystyle m_c=\sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}},}$

که در آن ${\displaystyle a}$

ازین رو روابط زیر را داریم:

${\displaystyle a=\frac{2}{3}\sqrt{-m_a^2+2m_b^2+2m_c^2}=\sqrt{2(b^2+c^2)-4m_a^2}=\sqrt{\frac{b^2}{2}-c^2+2m_b^2}=\sqrt{\frac{c^2}{2}-b^2+2m_c^2},}$

${\displaystyle b=\frac{2}{3}\sqrt{-m_b^2+2m_a^2+2m_c^2}=\sqrt{2(a^2+c^2)-4m_b^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}-c^2+2m_a^2}=\sqrt{\frac{c^2}{2}-a^2+2m_c^2},}$

${\displaystyle c=\frac{2}{3}\sqrt{-m_c^2+2m_b^2+2m_a^2}=\sqrt{2(b^2+a^2)-4m_c^2}=\sqrt{\frac{b^2}{2}-a^2+2m_b^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}-b^2+2m_a^2}.}$