حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 2 دقیقه
لینک کوتاه

اثر (جبر خطی)

در جبر خطی اثر (رد یا تریس (به انگلیسی: Trace)) یک ماتریس مربعی nدرn برابر است با حاصل‌جمع درایه‌های قطر اصلی آن یا به عبارت دیگر:

t r ( A ) = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n = ∑ i = 1 n a i i {\displaystyle \mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,}

که aii درایه واقع بر سطر iم و ستون iم ماتریس A است. به بیان دیگر اثر یک ماتریس برابر مجموع ویژه‌مقادیر آن است. قابل ذکر است که اثر فقط برای ماتریس مربعی تعریف می‌شود.

قضیه کیلی-همیلتون نیز بیان می‌دارد که هر ماتریس در معادله سرشتنمایی خود صدق می‌کند.

فهرست

  • ۱ مثال
  • ۲ ویژگی‌ها
    • ۲.۱ ویژگی‌های بنیادی
    • ۲.۲ اثر حاصلضرب
    • ۲.۳ ویژگی‌های دیگر
  • ۳ منابع

مثال

اگر ماتریس T یک ماتریس مربعی باشد

[ − 2 2 − 3 − 1 1 3 2 0 − 1 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}.}

آنگاه tr(T) = −۲ + ۱ − ۱ = −۲.

ویژگی‌ها

ویژگی‌های بنیادی

اثر یک عملگر خطی است:

t r ( A + B ) = t r ( A ) + t r ( B ) , {\displaystyle \mathrm {tr} (A+B)=\mathrm {tr} (A)+\mathrm {tr} (B),}
t r ( c A ) = c ⋅ t r ( A ) . {\displaystyle \mathrm {tr} (cA)=c\cdot \mathrm {tr} (A).}

برای هر ماتریس مربعی A و B و هر کمیت نرده‌ای c.

یک ماتریس و ترانهاده آن یک اثر دارند:

t r ( A ) = t r ( A T ) {\displaystyle \mathrm {tr} (A)=\mathrm {tr} (A^{T})}
.

اثر حاصلضرب

اگر A یک ماتریس m×n و B یک ماتریس n×mباشد آنگاه:

t r ( A B ) = t r ( B A ) . {\displaystyle \mathrm {tr} (AB)=\mathrm {tr} (BA).}

ویژگی‌های دیگر

اگر A یک ماتریس متقارن و B یک ماتریس پادمتقارن باشد

t r ( A B ) = 0 {\displaystyle \mathrm {tr} (AB)=0}
.

منابع

  1. ↑ This is immediate from the definition of matrix multiplication.
    t r ( A B ) = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n A i j B j i = t r ( B A ) . {\displaystyle \mathrm {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\mathrm {tr} (BA).}
  • ویکی‌پدیای انگلیسی
آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.