حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 2 دقیقه
لینک کوتاه

ماتریس متقارن

در جبر خطی ماتریس متقارن (به انگلیسی: Symmetric matrix) به ماتریسی می‌گویند که خودش با ترانهاده‌اش یکسان باشد به عبارت دیگر ماتریس A متقارن است اگر و فقط اگر:

ماتریس متقارن در حال تقارن اعداد
A = A ⊤ . {\displaystyle A=A^{\top }.\,\!}

درایه‌های ماتریس متقارن نسبت به قطر اصلی آن متقارن اند یعنی اگرA = (aij)، بنابراین

a i j = a j i {\displaystyle a_{ij}=a_{ji}\,\!}

به طور مثال ماتریس ۳×۳ زیر متقارن است

[ 1 2 3 2 4 − 5 3 − 5 6 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}.}

تمام ماتریس های قطری متقارن اند. تمام ماتریس‌های پادمتقارن درایه‌های قطر اصلی‌شان صفر است.

در مکانیک کوانتم و نظریه میدان کوانتمی برای برخوردها ماتریس متقارن مختلط نگاشته می‌شود که این مقاله برای ماتریس متقارن در اعداد حقیقی به کار می‌رود اما هر ماتریس متقارن مختلط A را می‌توان به صورت A = U D U نگاشت، که U ماتریس واحد و D ماتریس قطری با درایه‌های نامنفی است. یکی از معمولترین کاربردهای آن این است که نشان می‌دهد فرمیون‌ها همواره جرم نامنفی و حقیقی دارند که در نقض سی‌پی کاربرد دارد.

هر ماتریس مربعی را می‌توان به صورت جمع دو ماتریس متقارن و پادمتقارن نوشت:

X = 1 2 ( X + X ⊤ ) + 1 2 ( X − X ⊤ ) . {\displaystyle X={\frac {1}{2}}(X+X^{\top })+{\frac {1}{2}}(X-X^{\top }).}

که ½(X + X) ∈ Symn و ½(X − X) ∈ Skewn. برای تمام ماتریس‌های مربعی صدق می‌کند.

فهرست

  • ۱ ماتریس تقارن‌پذیر
  • ۲ جستارهای وابسته
  • ۳ منابع
  • ۴ پیوند به بیرون

ماتریس تقارن‌پذیر

یک ماتریس مربعی را زمانی تقارن‌پذیر گوییم هرگاه ماتریس قطری D و ماتریس متقارن S وجود داشته‌باشند که A = DS. ترانهاده یک ماتریس تقارن‌پذیر نیز تقارن‌پذیر است برای (DS) = D(DSD). ماتریس A = (aij) فقط زمانی تقارن‌پذیر است که در شرایط زیر صدق کند:

  1. a i j = 0  implies  a j i = 0  for all  1 ≤ i ≤ j ≤ n . {\displaystyle a_{ij}=0{\text{ implies }}a_{ji}=0{\text{ for all }}1\leq i\leq j\leq n.}
  2. a i 1 i 2 a i 2 i 3 … a i k i 1 = a i 2 i 1 a i 3 i 2 … a i 1 i k  for any finite sequence  ( i 1 , i 2 , … , i k ) . {\displaystyle a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}{\text{ for any finite sequence }}(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}).}

جستارهای وابسته

انواع دیگر تقارن در ماتریس‌های مربعی نام‌های خاص خود را دارند به طور مثال:

  • ماتریس هانکل
  • ماتریس هیلبرت
  • ماتریس کوکستر
  • ماتریس کوواریانس
  • ماتریس پادمتریک
  • ماتریس پادمتقاران

همچنین ببینید: تقارن در ریاضیات.

منابع

  • A. J. Bosch (1986). "The factorization of a square matrix into two symmetric matrices". American Mathematical Monthly. 93 (6): 462–464. doi:10.2307/2323471.
  • ویکی‌پدیای انگلیسی

پیوند به بیرون

  • An Online template for splitting a matrix into a symmetric and a skew-symmetric addend
  • A brief introduction and proof of eigenvalue properties of the real symmetric matrix
آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.