ابربیضی

ابربیضی که به یاد گابریل لامه با نام منحنی لامه نیز شناخته می‌شود، منحنی بسته‌ای مشابه بیضی است که جنبه‌های هندسی آن شامل نیم‌قطر بزرگ، نیم‌قطر کوچک و تقارن حول آنها را حفظ می‌کند، ولی شکل کلی متفاوتی دارد.

نمونه هایی از ابربیضی با

a=1,\ b=0.75

در دستگاه مختصات دکارتی، مجموعه نقاط روی منحنی معادلهٔ زیر را ارضا می‌کنند:

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,

که در آن n و a و b اعدادی مثبت هستند و خط‌های عمودی پیرامون یک عدد، قدر مطلق آن را نشان می‌دهند.

موارد ویژه

این فرمول به تعریف منحنی بسته‌ای می‌پردازد که در مستطیلی به ابعاد 2a و 2b محاط است. پارامترهای a و b را نیم‌قطرهای منحنی می‌نامند.

$0<n<1$	ابربیضی شبیه ستارهٔ چهارپر با اضلاع مقعر است. در حالت خاص n = ۱/۲، هر یک از چهار کمان بخشی از سهمی است.	ابربیضی با n = ½, a = b = 1
$n=1$	منحنی متوازی‌الأضلاعی با رأس‌های (‎±a, 0) و (‎0, ±b) است.
$1<n<2$	منحنی شبیه متوازی‌الأضلاعی با همان رئوس ولی با اضلاع محدب است. با نزدیک شدن به نقاط انتهایی، انحنا افزایش می یابد و حد ندارد.	ابربیضی با n = 3⁄2, a = b = 1
$n=2$	منحنی به صورت بیضی معمولی است (در حالت خاص اگر a = b باشد تبدیل به دایره می‌شود).
$n>2$	منحنی شکلی شبیه مستطیل با لبه‌های گرد پیدا می‌کند. در نقاط (‎±a, 0) و (‎0, ±b) انحنا برابر صفر است.	ابربیضی با n = 4, a = b = 1

ویژگی‌های ریاضی

اگر n عدد گویای مثبتی به شکل p/q باشد، هر ربع ابربیضی منحنی جبری از مرتبهٔ pq است. در حالت خاص ‎a=b=۱ و n زوج، منحنی فرما از درجهٔ n خواهد بود. اگر صورت کسر زوج نباشد، منحنی از اجزای منحنی جبری مشابهی در راستاهای مختلف تشکیل می‌شود.

می توان منحنی را با معادلات پارامتری زیر (که پارامتر t تفسیر هندسی ندارد) توصیف کرد:

\left.{\begin{aligned}x\left(t\right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}t\\y\left(t\right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}t\end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}

به ازای هر مقدار t چهار نقطه روی منحنی مشخص می‌شود. معادل آن می‌توان برای t در بازهٔ $0\leq t<2\pi$

تعریف کرد:

{\begin{aligned}x\left(t\right)&={|\cos t|}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={|\sin t|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t)\end{aligned}}

که در آن تابع علامت به صورت زیر تعریف می‌شود:

\operatorname {sgn}(w)={\begin{cases}-1,&w<0\\0,&w=0\\+1,&w>0.\end{cases}}

می توان مساحت ابربیضی را برحسب تابع گاما بیان کرد:

\mathrm {Area} =4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}}.

جستارهای وابسته

مثلث رولو

منابع

↑ For a derivation of the algebraic equation in the case where n = 2/3, see p. 3 of http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf.

پیوند به بیرون

Sokolov, D.D. (2001) [1994], "Lamé curve", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
"Lamé Curve" at MathCurve.
Weisstein, Eric W. "Superellipse". MathWorld.
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Lame Curves", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
"Super Ellipse" on 2dcurves.com
Superellipse Calculator & Template Generator
C code for fitting superellipses

[1] For a derivation of the algebraic equation in the case where n = 2/3, see p. 3 of http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf.