تابع علامت

تابع علامت برای عدد حقیقی ${\displaystyle x}$

هر عدد حقیقی را می‌توان به صورت حاصل ضرب قدر مطلق آن در تابع علامتش نوشت:

${\displaystyle x=\mathrm{sgn}(x)\cdot |x|.(1)}$

از معادلهٔ بالا چنین بدست می‌آید که هرگاه x ناصفر باشد تابع علامت آن را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

${\displaystyle \mathrm{sgn}(x)=\frac{x}{|x|}}$

و البته برای تمامی اعداد حقیقی x می‌توان گفت:

${\displaystyle |x|=\mathrm{sgn}(x)\cdot x.}$

تابع علامت مشتق تابع قدر مطلق نیز است (تا سر نامعینی در صفر):

${\displaystyle \frac{d|x|}{dx}=\mathrm{sgn}(x)\text{ for }x\ne 0}$

 

آنچه باقی می‌ماند تنها علامت x است.

تابع علامت در همه جا جز صفر، مشتق‌پذیر است و مقدار مشتق آن برابر صفر است. این تابع در حالت عادی در نقطهٔ صفر مشتق‌پذیر نیست ولی در شرایط مفهوم عمومی مشتق‌گیری در نظریهٔ توزیع، مشتق تابع علامت برابر است با دو برابر تابع دلتای دیراک که برای بیان آن می‌توان از رابطهٔ زیر بهره برد:

${\displaystyle \mathrm{sgn}(x)=2H(x)-1}$

که در آن H(x) تابع پله‌ای هویساید است و H(۰) = ۱/۲ می‌باشد. با کمک این برابری دوباره مشتق‌گیری می‌کنیم:

${\displaystyle \frac{d\mathrm{sgn}(x)}{dx}=2\frac{dH(x)}{dx}=2\delta (x).}$

می توان تابع علامت را به کمک براکت ایورسون هم نوشت:

که در آن ${\displaystyle k\gg 1}$

${\displaystyle \mathrm{sgn}(x)\approx \tanh (kx).}$

تقریب دیگر چنین است:

${\displaystyle \mathrm{sgn}(x)\approx \frac{x}{\sqrt{x^2+{ϵ}^2}}.}$

که برای ${\displaystyle ϵ\to 0}$

نگاه کنید به مقالهٔ تابع پله‌ای هویساید.

تابع علامت را می‌توان تا مجموعهٔ اعداد مختلط هم گسترش داد؛ به این ترتیب:

${\displaystyle \mathrm{sgn}(z)=\frac{z}{|z|}}$

که در آن z عضو ${\displaystyle \mathbb{C}}$

${\displaystyle \mathrm{sgn}(z)=\exp (i\arg z),}$

در این رابطه arg همان زاویهٔ φ در بیان قطبی عدد مختلط است. توضیح: اگر یک عدد مختلط را به صورت ${\displaystyle r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

${\displaystyle \mathrm{sgn}(0+0i)=0}$

روش دیگر برای گسترش تابع علامت هم بر روی عددهای حقیقی و هم مختلط، به کار گرفتن csgn است که به صورت زیر تعریف می‌شود:

که در آن ${\displaystyle \mathrm{\Re }(z)}$

در نتیجه در تمام نقطه‌ها جز 0 = z خواهیم داشت:

${\displaystyle \mathrm{csgn}(z)=\frac{z}{\sqrt{z^2}}=\frac{\sqrt{z^2}}{z}.}$

به ازای مقدارهای حقیقی ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \epsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\epsilon (x)=0}$

همچنین ${\displaystyle \epsilon (x)}$

• قدر مطلق (ریاضی)
• تابع پله‌ای هویساید
• اعداد منفی
• تابع مستطیلی

• احمد قندهاری، حمیدرضا امیری. تابع. انتشارات مدرسه. تهران.