*-جبر

*-حلقه

در ریاضیات، یک *-حلقه، حلقه ای است که مجهز به نگاشت ${\displaystyle \ast :A\to A}$

به طور دقیق تر، * باید خواص زیر را برای تمام ${\displaystyle x,y\in A}$

• ${\displaystyle (x+y{)}^{\ast }=x^{\ast }+y^{\ast }}$
• ${\displaystyle (xy{)}^{\ast }=y^{\ast }{x}^{\ast }}$
• ${\displaystyle 1^{\ast }=1}$
• ${\displaystyle (x^{\ast }{)}^{\ast }=x}$

به این حلقه حلقه پیچشی هم می گویند. توجه کنید که اصل سوم در اصل اضافی است، چون اصل دوم و چهارم نتیجه می دهند که ${\displaystyle 1^{\ast }}$

عناصری چون x* = x را خود-الحاقی خوانند.

مثال های کهن الگو از یک *-حلقه، میدان اعداد مختلط و اعداد جبری مجهز به مزدوج مختلط به عنوان پیچش اند. می توان فرم سسکوئی-خطی روی هر *-حلقه تعریف کرد.

همچنین، می توان *-نسخه هایی از اشیاء جبری چون ایده‌آل، زیر حلقه با شرط *-ناوردایی: ${\displaystyle x\in I\to x^{\ast }\in I}$

*-جبر

یک *-جبر چون ${\displaystyle A}$

${\displaystyle (rx{)}^{\ast }=r^{\prime }{x}^{\ast }\mathrm{\forall }r\in R,x\in A}$

*-حلقه پایه اغلب اعداد مختلط اند (که * به عنوان مزدوجه مختلط عمل می کند).

از اصول موضوعه ها نتیجه می شود که * روی ${\displaystyle A}$

${\displaystyle (\lambda x+\mu y{)}^{\ast }={\lambda }^{\prime }x\ast +{\mu }^{\prime }y\ast }$

یک *-همریختی ${\displaystyle f:A\to B}$

• برای هر ${\displaystyle a\in A}$
  داریم ${\displaystyle f(a^{\ast })=f(a{)}^{\ast }}$

فلسفه *-عمل

* -عمل روی *-حلقه مشابه عمل مزدوج گیری روی اعداد مختلط است. *-عمل روی *-جبر مشابه الحاق گیری روی جبرهای ماتریسی مختلط است.

نمادگذاری

پیچش * یک عملگر تکی است به صورت های زیر نمایش داده می شوند:

x ↦ x*،

x ↦ x (TeX: x^*)

اما به صورت "x*" نوشته نمی‌شود؛ مقاله ستاره را برای جزئیات بیشتر ببینید.