رونگ (جبر)

به طور دقیق‌تر، رنگ یک مجموعه ${\displaystyle R}$

• ${\displaystyle (R,+)}$
  یک گروه آبلی باشد.
• ${\displaystyle (R,\cdot )}$
  یگ نیم گروه باشد.
• ضرب تحت جمع خاصیت پخشی داشته‌باشد.

و به یک تابع ${\displaystyle f:R\to S}$

• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$
• ${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$

همه حلقه‌ها رنگ هستند. اعداد زوج تحت جمع و ضرب معمولی یک مثال از یک رنگ که حلقه نیست هستند. برای یک مثال ساده دیگر می‌توانید مجموعه همه ماتریس‌های حقیقی ۳در۳ را بگیرید که سطر پایین (ستون پایین) آنها صفر است. هر دو این مثال‌ها نشان دهنده حالتی هستند که برای هر ایده‌آل سره(یک طرفه یا دو طرفه) تشکیل یک رنگ می‌دهد.

عموما رنگ‌ها به طور طبیعی در آنالیز تابعی و عملگر‌های خطی روی فضای برداری بی‌نهایت بعدی ظاهر می‌شوند. برای مثال مجموعه تمام توابع خطی ${\displaystyle f:V\to V}$

ایده‌آل‌ها، حلقه‌های خارج‌قسمتی و همینطور مدول‌ها دقیقا به همان طریقی که روی حلقه‌ها تعریف می‌شوند، روی رنگ‌ها نیز تعریف می‌شوند.

به طور کلی کار کردن با رنگ‌ها سخت‌تر از حلقه‌ها است و ممکن است روابط کمی پیچیده‌تر شوند. برای مثال در یک ایده‌آل چپ ${\displaystyle (r)}$

${\displaystyle (r)=R\cdot r+\mathbb{Z}\cdot r=\{a\cdot r+nr:a\in R,n\in \mathbb{Z}\}}$

بطوری که nr را باید n بار جمع یا تفریق عضو r با خودش دانست. همین‌طور به شکل مشابه نیز در یک رنگ می‌توان ایده‌آل چپ تولید شده توسط عضوهای را می‌توان توسط مجموعه زیر تعریف کرد:

${\displaystyle (r_1,\cdots ,r_m)=\{a_1\cdot r_1+\cdots +a_m\cdot r_m+n_1{r}_1+\cdots +n_m{r}_m:a_i\in R,n_i\in \mathbb{Z}\}}$

فرمولی که به امی نوتر برمی‌گردد. پیچیدگی‌های مشابهی در تعریف زیرمدول ایجاد‌شده توسط مجموعه‌ای از عناصر یک مدول به وجود می آید.

به وضوح، بعضی از قضیه‌های حلقه برای رنگ‌ها صدق نمی‌کنند، مثلا در یک حلقه برای ایده‌آل سره، یک ایده‌آل ماکسیمال شامل آن وجود دارد. بنابراین برای هر حلقه غیر صفر حداقل یک ایده‌آل ماکسیمال وجود دارد. که هر دو این عبارات برای رنگ‌ها غلط هستند.

همینطور می‌توان ذکر کرد که همریختی رنگ‌ها، عناصر خودتوان را حفظ می‌کند یعنی اگر ${\displaystyle f:R\to S}$