کوچکترین مضرب مشترک
در حساب و نظریه اعداد، کوچکترین مضرب مشترک (به انگلیسی: Least Common Multiple) (در متون فارسی به صورت مخفف ک. م.م. و در متون انگلیسی به صورت مخفف lcm نیز نوشته میشود)، از دو عدد صحیح a و b را اغلب به صورت lcm(a, b) نمایش داده که کوچکترین عدد صحیح مثبتی است که بر هردوی a و b بخشپذیر میباشد. از آنجا که تقسیم بر صفر تعریف نشده، تعریف ک.م.م. تنها زمانی معنادار است که a و b هردو مخالف صفر باشند. با اینحال، برخی از مؤلفان
همچنین ک.م.م. «کوچکترین مخرج مشترک» (Lowest Common Denominator) (یا lcd) است که میتوان آن را قبل از جمع، تفریق یا مقایسه کسرها به کار برد. ک.م.م. بیش از دو عدد صحیح نیز خوشتعریف است: در این حالت ک.م.م. برابر با کوچکترین عدد صحیح مثبتی است که بر هرکدام از آنها بخشپذیر باشد.
تعریف
فرض کنید
قضیه
اگر
برهان: اگر
(۱)
از طرف دیگر
بنابراین
یعنی
محاسبه ک.م.م.
برای محاسبه ک.م.م. میتوان همه اعداد را به عوامل اول تجزیه کرد. ک.م.م. برابر حاصل ضرب عوامل مشترک با توان بزرگتر و عوامل غیر مشترک میشود. همچنین میتوان ک.م.م. را به کمک ب.م.م. تعریف نمود: از آنجا که ب م م دو عدد برابر با حاصل ضرب آنها تقسیم بر ک.م.م. آنها است، ک.م.م. دو عدد برابر با حاصل ضرب آنها تقسیم بر ب.م. م آنهاست:
از آنجا که ب.م.م. دو عدد شمارنده هر دو است، بهتر است اول تقسیم و سپاس ضرب کرد که بدین ترتیب ک.م.م. به این شکل تعریف خواهد شد:
جستارهای وابسته
ارجاعات
- ↑ "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (به انگلیسی). 2020-03-25. Retrieved 2020-08-30.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Least Common Multiple". mathworld.wolfram.com (به انگلیسی). Retrieved 2020-08-30.
- ↑ Hardy & Wright, § 5.1, p. 48
- ↑ (Long 1972، ص. 39)
- ↑ Slavin, Keith R. (2008). "Q-Binomials and the Greatest Common Divisor". INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory. University of West Georgia, Charles University in Prague. 8: A5. Retrieved 2008-05-26.
- ↑ (Long 1972، ص. 33)
- ↑ (Pettofrezzo و Byrkit 1970، ص. 34)
منابع
- Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective, New York: Springer, ISBN 0-387-94777-9
- Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5
- Landau, Edmund (1966), Elementary Number Theory, New York: Chelsea
- Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950
- Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766