چندضلعی ستاره‌ای

مساحت هر ستارۀ n پر منتظم، برابر با مجموع مساحت چندضلعی مولد آن و مساحت مثلث های اطراف آن است. به عنوان مثال، ستارۀ منتظم پنج پر زیر را در نظر بگیرید. مساحت ستاره در این حالت برابر است با:

${\displaystyle A_{star}=A_{polygon}+n\times (A_{triangle})=\frac{n{b}^2}{4tan(\pi /n)}+\frac{n{a}^2}{2}sin(\gamma )}$

برای تبدیل طول ضلع چندضلعی به طول ضلع مثلث (پر ستاره) می توانیم از قانون کسینوس ها استفاده کنیم:

${\displaystyle b^2=a^2+a^2-2a^{2}cos\gamma =2a^2(1-cos\gamma )}$

با جایگذاری این عبارت در فرمول مساحت ستاره، خواهیم داشت:

${\displaystyle A_{star}=\frac{n{a}^2(1-cos\gamma )}{2tan(\pi /n)}+\frac{n{a}^{2}sin\gamma }{2}=\frac{n{a}^2}{2}(\frac{1-cos\gamma }{tan(\pi /n)}+sin\gamma )}$

با محاسبات جمع زوایای داخلی مثلث و زوایای داخلی چندضلعی می دانیم:

${\displaystyle \gamma =\pi -\frac{4\pi }{n}}$

فلذا مقادیر سینوس و کسینوس گاما را می توان به شکل زیر ساده سازی کرد:

${\displaystyle sin\gamma =sin(\pi -\frac{4\pi }{n})=sin(\frac{4\pi }{n})}$

${\displaystyle cos\gamma =cos(\pi -\frac{4\pi }{n})=-cos(\frac{4\pi }{n})}$

اگر این مقادیر را در فرمول مساحت ستاره قرار دهیم:

${\displaystyle A_{star}=\frac{n{a}^2}{2}[\frac{1+cos(4\pi /n)}{tan(\pi /n)}+sin(4\pi /n)]}$

با گرفتن مخرج مشترک و ساده سازی عبارت داخل کروشه به فرمول زیر خواهیم رسید:

${\displaystyle A_{star}=\frac{n{a}^2}{2}[\frac{cos(\pi /n)+cos(3\pi /n)}{sin(\pi /n)}]}$

صورت کسر را می توانیم باز هم ساده تر کنیم تا به فرمول زیر برسیم:

${\displaystyle A_{star}=\frac{n{a}^2}{2}[\frac{2cos(2\pi /n)}{tan(\pi /n)}]=\frac{n{a}^{2}cos(2\pi /n)}{tan(\pi /n)}]}$

این فرمول، فرمول محاسبۀ مساحت ستارۀ منتظم است که در آن a طول ضلع هر پر ستاره و n تعداد پرهای ستاره است.