پلانی‌متر

می‌توان طرز کار پلانی متر خطی را با اندازه‌گیری مساحت مستطیل ABCD توضیح داد (تصویر را ببینید). حین حرکت اشاره گر از A به B بازوی EM روی متوازی‌الأضلاع زرد با مساحتی برابر PQ*ME حرکت می‌کند. این مساحت همچنین با مساحت متوازی‌الأضلاع A"ABB" برابر است. دور شمار فاصله PQ را اندازه‌گیری می‌کند (عمود بر EM). در حرکت از C به D بازوی EM متوازی الاضلاع سبز را طی می‌کند که مساحتی برابر با مساحت مستطیل D"DCC" دارد. حالا دور شمار در جهت عکس حرکت می‌کند (کم کردن این مقدار از مقدار قبلی). نتیجه نهایی اندازه‌گیری اختلاف مساحت متوازی‌الأضلاع زرد و سبز که همان ناحیهٔ ABCD است، می‌باشد. همچنین حرکتی در طول BC و DA وجود دارد اما چون برابر و در خلاف جهت هم اند، یکدیگر را در خواندن عدد گردنده خنثی می‌کنند.

منشأ ریاضی

عملکرد پلانی متر خطی با استفاده از قضیهٔ گرین بر روی اجزای میدان برداری N توجیه می‌شود. توسط:

${\displaystyle N(x,y)=(b-y,x),}$

جایی که b مختصات جهت y از زانوی E است. این میدان برداری بر بازوی اندازه‌گیری EM عمود است:

${\displaystyle \overrightarrow{EM}\cdot N=x{N}_x+(y-b)N_y=0}$

و دارای اندازه ثابتی برابر با طول m از بازوی اندازه‌گیری است:

${\displaystyle \Vert N\Vert =\sqrt{(b-y{)}^2+x^2}=m}$

بنابراین:

${\displaystyle {\oint }_C(N_{x}dx+N_{y}dy)={\iint }_S\left(\frac{\mathrm{\partial }{N}_y}{\mathrm{\partial }x}-\frac{\mathrm{\partial }{N}_x}{\mathrm{\partial }y}\right)dxdy=}$

${\displaystyle ={\iint }_S\left(\frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }x}-\frac{\mathrm{\partial }(b-y)}{\mathrm{\partial }y}\right)dxdy={\iint }_{S}dxdy=A,}$

چون:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(y-b)=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}\sqrt{m^2-x^2}=0,}$

طرف چپ تساوی بالا، که با ناحیهٔ احاطه شده توسط منحنی بسته (A)برابر است، با فاصله اندازه‌گیری شده توسط گردنده اندازه‌گیری متناسب است (با فاکتور تناسب m-طول بازوی اندازه‌گیری)

مختصات قطبی

ارتباط با قضیه گرین از دیدگاه یکپارچه سازی در دستگاه مختصات قطبی قابل درک است. در دستگاه مختصات قطبی، مساحت از انتگرال ${\displaystyle {\int }_{\theta }\frac{1}{2}r(\theta {)}^{2}d\theta ,}$

محاسبه می‌شود، وقتی فرم یکپارچه می‌شود درجه r است، به این معنی که نرخ در هر ناحیه با توجه به تغییر در درجه تفاوت زاویه با شعاع تغییر می‌کند. برای یک معادله پارامتری در دستگاه قطبی، جایی که rو a به صورت تابعی از زمان تغییر کنند، خواهیم داشت:

${\displaystyle {\int }_t\frac{1}{2}r(t{)}^{2}d(\theta (t))={\int }_t\frac{1}{2}r(t{)}^2\cdot \dot{\theta }(t)dt.}$

در پلانی متر برای چرخی که به انتهای اتصال ثابت شده‌است و حول یک نقطه می‌چرخد، کل گردش چرخ با ${\displaystyle {\int }_{t}r(t)\cdot \dot{\theta }(t)dt,}$

متناسب است، همچنین گردش با مسافت پیموده شده متناسب است، که در هر نقطه از زمان با شعاع و تغییر در زاویه متناسب است، همان‌طور که در محیط یک دایره (${\displaystyle \int rd\theta =2\pi r}$

)است.

این جمله زیر انتگرال ${\displaystyle r(t)\cdot \dot{\theta }(t)dt}$

می‌تواند به عنوان مشتق جمله زیر انتگرال قبلی${\displaystyle \frac{1}{2}r(t{)}^2\dot{\theta }(t)dt}$

(نسبت به r) شناخته شود و نشان می‌دهد پلانی متر ناحیهٔ انتگرال را از دیدگاه مشتق محاسبه می‌کند، که به تئوری گرین بر می‌گردد، که با انتگرال خطی تابع در یک محیط یک بعدی به انتگرال دو بعدی مشتق معادل است.

منابع

• R. W. Gatterdam, The planimeter as an example of Green’s theorem, Amer. Math. Monthly 88 (1981) 701–704.
• J. L. Hodgson, Integration of flow meter diagrams, J. Sci. Instrum. 6 (1929) 116–118.
• E. M. Horsburgh Napier Tercentenary Celebration: Handbook of the Exhibition of Napier Relics and of Books, Instruments, and Devices for facilitating Calculation, The Royal Society of Edinburgh, 1914.
• G. Jennings, Modern Geometry with Applications, Springer, 1985.
• L. I. Lowell, Comments on the polar planimeter, Amer. Math. Monthly 61 (1954) 467–469.
• C. J. Sangwin and J. Bryant, How Round is your Circle, Chapter 8, Princeton University Press, 2007.
• J. Y. Wheatley, The polar planimeter, New York: Keuffel & Esser, 1908.

پیوند به بیرون

• Hatchet Planimeter
• P. Kunkel: Whistleralley site, The Planimeter
• Larry's Planimeter Platter
• Wuerzburg Planimeter Page
• Robert Foote's planimeter page
• Computer model of a planimeter بایگانی‌شده در ۶ آوریل ۲۰۰۹ توسط Wayback Machine
• Tanya Leise's planimeter explanations بایگانی‌شده در ۴ دسامبر ۲۰۰۸ توسط Wayback Machine
• 'Tanya Leise: As the Planimeter’s Wheel Turns
• Make a simple planimeter
• O. Knill and D. Winter: ;;Green's Theorem and the Planimeter