مدل‌های سری زمانی مالی

اگر ${\displaystyle {ϵ}_t}$

${\displaystyle {\sigma }_t^2={\alpha }_0+{\alpha }_1{ϵ}_{t-1}^2+\cdots +{\alpha }_q{ϵ}_{t-q}^2={\alpha }_0+\sum _{i=1}^q{\alpha }_i{ϵ}_{t-i}^2}$

که در آن ${\displaystyle {\alpha }_0>0}$

مدل (ARCH(q را می‌توان با حداقل مربعات تخمین زد. یک متودولوژی برای پیدا کردن طول لگ errorها در ARCH استفاده از Lagrange multiplier است که توسط (Engle (1982 ارائه شده. این رویه به صورت زیر است:

1. بهترین مدل (AR(q برای مدل ${\displaystyle y_t=a_0+a_1{y}_{t-1}+\cdots +a_q{y}_{t-q}+{ϵ}_t=a_0+\sum _{i=1}^q{a}_i{y}_{t-i}+{ϵ}_t}$
   را تخمین میزنیم.

2. مربع errorها ${\displaystyle {\widehat{ϵ}}^2}$
   را بدست آورده و آن‌ها را روی مقدار ثابت و مقادیر با q لگ رگرس می‌کنیم.

   ${\displaystyle {\widehat{ϵ}}_t^2={\hat{\alpha }}_0+\sum _{i=1}^q{\hat{\alpha }}_i{\widehat{ϵ}}_{t-i}^2}$

   که q طول لگ‌های ARCH می‌باشد.

3. فرض صفر این است که در نبود اجزاء ARCH برای تمامی ${\displaystyle i=1,\cdots ,q}$
   معادله ${\displaystyle {\alpha }_i=0}$
   برقرار است. فرض مقابل (alternative hypothesis) نیز این است که با وجود اجزاء ARCH حداقل یکی از ضرایب ${\displaystyle {\alpha }_i}$
   معنا دار باشند. در یک نمونه T تایی از residualها تحت فرض صفر، آماره TR² توزیع ${\displaystyle {\chi }^2}$
   با q درجه آزادی را خواهد داشت. اگر TR² بزرگ تر از مقدار Chi-square در جدول باشد فرض صفر را رد می‌کنیم و نتیجه می‌گیریم که در مدل ARMA اثر ARCH وجود دارد. اگر TR² کوچکتر از مقدار Chi-square در جدول باشد، فرض صفر رد نخواهد شد.

اگر مدل (autoregressive moving average (ARMA را برای واریانس errorها فرض بگیریم، مدل generalized autoregressive conditional heteroscedasticity GARCH, Bollerslev 1986 را خواهیم داشت.

در این حالت مدل (GARCH(p, q که در آن p مرتبه ${\displaystyle {\sigma }^2}$

${\displaystyle {\sigma }_t^2={\alpha }_0+{\alpha }_1{ϵ}_{t-1}^2+\cdots +{\alpha }_q{ϵ}_{t-q}^2+{\beta }_1{\sigma }_{t-1}^2+\cdots +{\beta }_p{\sigma }_{t-p}^2={\alpha }_0+\sum _{i=1}^q{\alpha }_i{ϵ}_{t-i}^2+\sum _{i=1}^p{\beta }_i{\sigma }_{t-i}^2}$

معمولاً در اقتصاد سنجی وقتی برای heteroscedasticity تست می‌کنیم، بهترین راه تست White است. هرچند هنگامی که با داده‌های سری زمانی کار می‌کنیم، این به معنی تست برای errorها در مدل ARCH یا در مدل GARCH است.

قبل از GARCH مدل EWMA بود که مدل GARCH جانشین آن شد، هرچند برخی افراد از هر دو این مدل‌ها استفاده می‌کنند. مشخصات مدل (GARCH(p, q

طول لگ p در مدل (GARCH(p, q از سه قدم بدست می‌آید؛

1. بهترین مدل را برای (AR(q تخمین می زنیم؛

   ${\displaystyle y_t=a_0+a_1{y}_{t-1}+\cdots +a_q{y}_{t-q}+{ϵ}_t=a_0+\sum _{i=1}^q{a}_i{y}_{t-i}+{ϵ}_t}$

2. مقدار autocorrelationهای ${\displaystyle {ϵ}^2}$
   را از فرمول زیر محاسبه و روی نمودار مشخص می‌کنیم؛

   ${\displaystyle \rho =\frac{\sum _{t=i+1}^T({\widehat{ϵ}}_t^2-{\hat{\sigma }}_t^2)({\widehat{ϵ}}_{t-1}^2-{\hat{\sigma }}_{t-1}^2)}{\sum _{t=1}^2({\widehat{ϵ}}_t^2-{\hat{\sigma }}_t^2{)}^2}}$

3. انحراف از معیار مجانبی ${\displaystyle \rho (i)}$
   برای نمونه‌های بزرگ ${\displaystyle 1/\sqrt{T}}$
   است. مقادیری که بزرگتر از این میزان باشند errorهای GARCH را معین می‌کنند. برای مشخص کردن تعداد لگ‌ها از تست Ljung-Box test استفاده می‌کنیم. آماره Q در Ljung-Box توزیع ${\displaystyle {\chi }^2}$
   را با n درجه آزادی خواهد داشت اگر مربع residualها ${\displaystyle {ϵ}_t^2}$
   uncorrelated باشند. معمولاً T/4 را برای n در نظر می‌گیرند. فرض صفر بیان می‌کند که errorها از نوع ARCH یاGARCH نیستند. رد فرض صفر نشان می‌دهد که چنین error‌هایی در واریانس‌های شرطی وجود دارد.

GARCH غیر خطی که (GARCH(1,1 غیر خطی نامتقارن نیز نامیده می‌شود توسط Engle و Ng در 1993 معرفی شد.

${\displaystyle {\sigma }_t^2=\omega +\alpha ({ϵ}_{t-1}-\theta {\sigma }_{t-1}{)}^2+\beta {\sigma }_{t-1}^2}$

برای بازده سهام مقدار پارامتر ${\displaystyle \theta }$

این مدل را نباید با مدل NARCH که توسط Higgins و Bera در 1992 ارائه شد اشتباه گرفت.

Integrated Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity یا IGARCH ورژن محدود شده مدل GARCH است که جمع پارامترهای آن برابر واحد می‌شود و بنابراین یک ریشه واحد (unit root) در GARCH وجود دارد. قید آن به صورت زیر می‌باشد.

${\displaystyle \sum _{i=1}^p{\beta }_i+\sum _{i=1}^q{\alpha }_i=1}$

exponential general autoregressive conditional heteroscedastic یا (EGARCH) توسط Nelson 1991 مدل شده که یک فرم دیگر از GARCH است. به‌طور تفصیلی (EGARCH(p,q به صورت زیر مشخص می‌شود

${\displaystyle \log {\sigma }_t^2=\omega +\sum _{k=1}^p{\beta }_{k}g(Z_{t-k})+\sum _{k=1}^q{\alpha }_k\log {\sigma }_{t-k}^2}$

که در آن ${\displaystyle g(Z_t)=\theta Z_t+\lambda (|Z_t|-E(|Z_t|))}$

از آنجا که ${\displaystyle \log {\sigma }_t^2}$

GARCH-in-mean یا (GARCH-M) یک ترم heteroscedasticity به معادله میانگین اضافه می‌کند و به صورت زیر مشخص می‌شود:

${\displaystyle y_t=\beta x_t+\lambda {\sigma }_t+{ϵ}_t}$

که residualها ${\displaystyle {ϵ}_t}$

${\displaystyle {ϵ}_t={\sigma }_t\times z_t}$

Quadratic GARCH QGARCH توسط Sentana 1995 ارائه شد که برای مدل کردن اثرات نامتقارن شوک‌های منفی و مثبت بکار می‌رود. برای یک مثال از مدل (GARCH(1,1 که در آن روند residual عبارتست از

${\displaystyle {ϵ}_t={\sigma }_t{z}_t}$

که در آن ${\displaystyle z_t}$

${\displaystyle {\sigma }_t^2=K+\alpha {ϵ}_{t-1}^2+\beta {\sigma }_{t-1}^2+\varphi {ϵ}_{t-1}}$

همانند (QGARCH، Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR-GARCH که توسط Glosten, Jagannathan و (Runkle (1993 مدل شد، عدم تقارن در پروسه GARCH مدل می‌کند که پیشنهاد می‌کند ${\displaystyle {ϵ}_t={\sigma }_t{z}_t}$

${\displaystyle {\sigma }_t^2=K+\delta {\sigma }_{t-1}^2+\alpha {ϵ}_{t-1}^2+\varphi {ϵ}_{t-1}^2{I}_{t-1}}$

که اگر ${\displaystyle {ϵ}_{t-1}\ge 0}$

نهایتاً (Threshold GARCH (TGARCH که توسط (Zakoian (1994 مدل شده همانند GJR GARCH است و مشخصه آن شرطی بودن انحراف معیار است به جای شرطی بودن واریانس:

${\displaystyle {\sigma }_t=K+\delta {\sigma }_{t-1}+{\alpha }_1^{+}{ϵ}_{t-1}^{+}+{\alpha }_1^{-}{ϵ}_{t-1}^{-}}$

که در آن اگر ${\displaystyle {ϵ}_{t-1}>0}$