حد (نظریه رسته‌ها)

در نظریه رسته‌ها که شاخه ای از ریاضیات است، مفهوم مجرد حد (به انگلیسی: Limit) خواص اساسی سازه های جهانی چون ضرب، عقب‌برها و حد معکوس را در خود جمع می کند. مفهوم دوگان آن یعنی هم‌حد سازه هایی چون اجتماعات مجزا، جمع‌های مستقیم، هم‌ضرب‌ها، برون‌برها و حد مستقیم را تعمیم می دهد.

همچون مفاهیم خواص جهانی و تابعگون‌های الحاقی که قویاً به هم مرتبطند، حد و هم‌حد نیز در مراتب بالای تجرید وجود دارند. به منظور فهمشان ابتدا باید مثال هایی که این مفاهیم سعی بر تعمیمشان دارند را مطالعه کرد.

تعریف

حدها و هم‌حدها در رسته ای چون $C$

به کمک نمودارها در

C

تعریف می شوند. به طور صوری، یک نمودار به شکل

J

در

C

تابعگونی از

J

به

C

است:

$F\colon J\rightarrow C$

رسته $J$

را می توان به صورت رسته اندیس و نمودار

F

را به عنوان اندیس‌گذار اشیاء و ریخت ها در

C

دید که الگوی اندیس‌گذاری اش را از رسته اندیس

J

می گیرد. اغلب به مواردی علاقه‌مندیم که در آن

J

رسته ای کوچک یا حتی متناهی باشد. یک نمودار را کوچک یا متناهی گوییم هرگاه

J

به ترتیب کوچک یا متناهی باشد.

حد

فرض کنید $F\colon J\rightarrow C$

یک نمودار به شکل

J

در رسته ای چون

C

باشد. یک مخروط به

F

شیئی چون

N

از

C

است به همراه خانواده

\psi _{X}\colon N\rightarrow F(X)

از ریخت‌ها که توسط اشیاء

X

از

J

اندیس شده باشند، چنان که برای هر ریخت

f\colon X\rightarrow Y

در

J

داشته باشیم

F(f)\circ \psi _{X}=\psi _{Y}

.

یک حد برای نمودار $F\colon J\rightarrow C$

مخروطی چون

(L,\phi )

به

F

است چنان که برای هر مخروط

(N,\psi )

به

F

وجود داشته باشد ریخت یکتایی چون

u\colon N\rightarrow L

چنان که برای تمام

X

در

J

داشته باشیم

\phi _{X}\circ u=\psi _{X}

:

یادداشت‌ها

منابع

Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Archived from the original (PDF) on 21 April 2015. Retrieved 8 اكتبر 2019.
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
Borceux, Francis (1994). "Limits". Handbook of categorical algebra. Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]. Vol. Volume 1. Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1.