حد معکوس

در ریاضیات، حد معکوس (به انگلیسی: Inverse Limit) (به آن حد تصویری هم می گویند) ساختاریست که امکان "به هم چسباندن" چندین شیء به هم مرتبط را فراهم می آورد، این به هم چسباندن به طور دقیق توسط ریخت بین اشیاء مد نظر تعیین می‌گردد. حد معکوس را می توان در هر رسته تعریف کرد، و این حد مورد خاصی از مفهوم عام تر حد در نظریه رسته‌هاست.

تعریف صوری

اشیاء جبری

ما با تعریف یک دستگاه معکوس (یا دستگاه تصویری) از گروه‌ها و هم‌ریختی‌هایشان شروع می کنیم. فرض کنید $(I,\leq )$

مجموعه مرتب جزئی جهت داری باشد (همه مؤلفان جهت‌دار بودن

I

را الزامی نمی‌دانند). فرض کنید

(A_{i})_{i\in I}

خانواده ای از گروه‌ها باشد و فرض کنید که برای تمام

i\leq j

ها خانواده ای از هم‌ریختی‌ها چون

f_{ij}\colon A_{j}\rightarrow A_{i}

داشته باشیم که به آن نگاشت های پیوندی (یا اتصال دهنده) گویند، به طوری که خواص زیر را دارا باشند:

$f_{ii}$ روی $A_{i}$ همانی باشد.
برای تمام $i\leq j\leq k$ داشته باشیم $f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}$ .

آنگاه دوتایی $((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})$

را دستگاه معکوس گروه‌ها و ریخت‌ها روی

I

گفته و ریخت‌های

f_{ij}

را ریخت‌های انتقالی این دستگاه گویند.

ما حد معکوس دستگاه معکوس $((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})$

را به صورت زیرگروه خاصی از ضرب مستقیم

A_{i}

ها تعریف می کنیم:

A=\varprojlim _{i\in I}{A_{i}}=\left\{\left.{\vec {a}}\in \prod _{i\in I}A_{i}\;\right|\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\text{ for all }}i\leq j{\text{ in }}I\right\}.

حد معکوس $A$

مجهز به نگاشت‌های تصویر (افکنش) طبیعی

\pi _{i}\colon A\rightarrow A_{i}

است. این نگاشت‌ها مؤلفه

i

ام ضرب مستقیم را برای هر

i

در

I

انتخاب می کنند. حد معکوس و تصویرهای طبیعی در یک خاصیت جهانی که در بخش بعدی توصیف می گردد صدق می کنند.

همین سازه را می توان در شرایطی که $A_{i}$

ها مجموعه، نیم‌گروه، فضاهای توپولوژیکی، حلقه، مدول (بر روی یک حلقه معین)، جبر (روی یک حلقه) و ... باشند و ریخت‌ها نیز در رسته‌های متناظر هر کدام هم‌ریختی باشند هم اعمال کرد. در این صورت حد معکوس این رسته‌ها نیز به هر رسته مربوطه متعلق خواهد بود.

یادداشت‌ها

↑ John Rhodes & Benjamin Steinberg. The q-theory of Finite Semigroups. p. 133. شابک ‎۹۷۸−۰−۳۸۷−۰۹۷۸۰−۰.

منابع

Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Springer, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC 40551484
Bourbaki, Nicolas (1989), General topology: Chapters 1-4, Springer, ISBN 978-3-540-64241-1, OCLC 40551485
Mac Lane, Saunders (September 1998), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-98403-8
Mitchell, Barry (1972), "Rings with several objects", Advances in Mathematics, 8: 1–161, doi:10.1016/0001-8708(72)90002-3, MR 0294454
Neeman, Amnon (2002), "A counterexample to a 1961 "theorem" in homological algebra (with appendix by Pierre Deligne)", Inventiones Mathematicae, 148 (2): 397–420, doi:10.1007/s002220100197, MR 1906154
Roos, Jan-Erik (1961), "Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications", C. R. Acad. Sci. Paris, 252: 3702–3704, MR 0132091
Roos, Jan-Erik (2006), "Derived functors of inverse limits revisited", J. London Math. Soc., Series 2, 73 (1): 65–83, doi:10.1112/S0024610705022416, MR 2197371
Section 3.5 of Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324. OCLC 36131259.

[same-construction-1] John Rhodes & Benjamin Steinberg. The q-theory of Finite Semigroups. p. 133. شابک ‎۹۷۸−۰−۳۸۷−۰۹۷۸۰−۰.