حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 2 دقیقه
لینک کوتاه

نقطه حدی

در ریاضیات، نقطهٔ انباشتگی یا نقطهٔ حدیِ مجموعهٔ S در فضای توپولوژیک X، نقطه‌ای مانند x (درون فضای X و نه لزوماً مجموعهٔ S) است که هر همسایگی آن، شامل نقطه‌ای از S غیر از x باشد یا S را در نقطه‌ای بجز x قطع کند. توجه شود که در این تعریف همسایگی دلخواه نقطه حدی باید محذوف باشد (یعنی شامل خود نقطه x نباشد) همچنین نقطه حدی می‌تواند عضو مجموعه S باشد یا نباشد و این موضوع در تعریف مذکور تأثیری ندارد. مجموعهٔ نقاط حدی S را با S نشان می‌دهیم و به آن مجموعهٔ مشتق S می‌گوییم.

نقطهٔ حدی در تعریف مفاهیمی چون حد، بستار و مجموعه بسته پدیدار می‌گردد.

نگاره نقاط دنباله xn = (-۱)·n/n+۱ از اعداد گویا را نشان می‌دهد. ۱ و ۱- نقاط حدی آن هستند.

فهرست

  • ۱ مثال‌ها
  • ۲ قضیه‌ها
  • ۳ دانستنی‌ها
  • ۴ پانویس
  • ۵ منابع

مثال‌ها
نگاره اعداد گویای مثبت را نشان می‌دهد. بنابر قضیه چگالی، هر نقطه در مجموعه اعداد حقیقی یک نقطه حدی مجموعه اعداد گویا است.
  • با در نظر گرفتن خط حقیقی R {\displaystyle \mathbb {R} }
    ، اگر A = (۰٬۱] آنگاه نقطهٔ ۰ یک نقطهٔ حدی A است. همچنین ۱/۲ نیز نقطه حدی دیگر آن است. در واقع هر نقطهٔ بازهٔ [۰٬۱] یک نقطه حدی A است؛ ولی هیچ عضو دیگر R {\displaystyle \mathbb {R} }
    نقطه حدی A نیست.
  • یک مجموعه متناهی دارای نقطه حدی نیست.
  • مجموعه نامتناهی N {\displaystyle \mathbb {N} }
    (مجموعه اعداد طبیعی) نقطه حدی ندارد.
  • تنها نقطه حدی مجموعهٔ A = { 1 n : n ∈ N } {\displaystyle A=\left\{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \right\}}
    نقطهٔ ۰ است. هیچ‌یک از نقاط دیگر A نقطهٔ حدی آن نیست.

قضیه‌ها

  • فرض کنید (M,d) یک فضای متریک باشد، A ⊆ M و p ∈ M آن‌گاه احکام زیر معادلند:
    1. p یک نقطه حدی A است.
    2. هر همسایگی p شامل تعدادی نامتناهی نقطه از A است.
    3. دنباله‌ای مانند (xn) از نقاط A وجود دارد که همواره xn ≠ p ولی lim n → ∞ x n = p {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=p}
      .

دانستنی‌ها

  • نقطهٔ p در فضای متری X را یک نقطهٔ تراکم مجموعهٔ E ⊂ X نامند هرگاه هر همسایگی p تعداد شمارش ناپذیری نقطه از E را داشته باشد. نقطه تراکم نوع خاصی از نقطه حدی است.
  • هرگاه p ∈ S و p نقطهٔ حدی S نباشد، آنگاه p یک نقطهٔ تنهای S نام دارد.
  • S بسته است هرگاه هر نقطهٔ حدی S یک نقطه از S باشد.
  • S کامل است هرگاه S بسته و هر نقطهٔ آن یک نقطه حدی آن باشد.

پانویس

  1. ↑ مانکرز، توپولوژی، نخستین درس، ۱۲۶.
  2. ↑ بارتل و شربرت، آشنایی با آنالیز حقیقی، ۱۲۴.
  3. ↑ بارتل و شربرت، آشنایی با آنالیز حقیقی، ۱۲۴.
  4. ↑ بارتل و شربرت، آشنایی با آنالیز حقیقی، ۱۲۴.
  5. ↑ مدقالچی، آنالیز ریاضی ۱، ۱۱۱.
  6. ↑ رودین، اصول آنالیز ریاضی، ۵۸.
  7. ↑ رودین، اصول آنالیز ریاضی، ۴۰.
  8. ↑ رودین، اصول آنالیز ریاضی، ۴۰.

منابع

  • بارتل، رابرت ج.؛ شربرت، دانلد ر. (۱۳۷۸). آشنایی با آنالیز حقیقی. ترجمهٔ طاهر قاسمی هنری و حکیمه ماهیار. تهران: فاطمی. شابک ۹۶۴-۴۸۶-۰۹۰-X.
  • رودین، والتر (۱۳۸۵). اصول آنالیز ریاضی. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. تهران: انتشارات علمی و فنی. شابک ۹۶۴-۶۲۱۵-۰۰-۹.
  • مانکرز، جیمز ر. (۱۳۸۹). توپولوژی، نخستین درس. ترجمهٔ جواد لالی و دیگران. تهران: مرکز نشر دانشگاهی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۰۲۸۳-۱.
  • مدقالچی، علیرضا (۱۳۸۸). آنالیز ریاضی ۱. تهران: دانشگاه پیام نور. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۴۵۵-۹۲۳-۵.
آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.