نابرابری کوشی–شوارتز
یکی از نامساویهای مهم و پرکاربرد در ریاضیات، نامساوی کوشی-شوارتس (به انگلیسی: Cauchy-Schwarz inequality) است که به نامهای «نامساوی کوشی»، «نامساوی شوارتس»، «نامساوی کوشی-بونیاکوفسکی-شوارتس» و «نامساوی لاگرانژ» نیز مشهور است. علت این نامگذاریها، شیوههای گوناگون گسترش یافتن این نامساوی به فضاهای مختلف است که در زمینههای مختلفی مانند جبر خطی، آنالیز ریاضی و نظریه احتمالات مطرح میشود. نابرابری کوشی-شوارتز به عنوان یکی از مهمترین نابرابریهای ریاضیات شناخته میشود و به نام آگوستین لویی کوشی و هرمن امندوس شوارتز خوانده میشود.
بیان نابرابری
نابرابری کوشی-شوارتز بیان میکند که برای هر دو بردار دلخواه x و y در فضای ضرب داخلی داریم:
که در آن
حالت تساوی رخ میدهد اگر و فقط اگر x و y وابستهٔ خطی باشند.
حالات خاص
لم تیتو
برای لم تیتو ( همچنین بنام نامساوی برگستورم، فرم انگل یا لم T2 نیز شناخته میشود) داریم، برای اعداد حقیقی و مثبت داریم:
برای اثبات کافیست تا ضرب داخلی روی فضای برداری
صفحه اقلیدسی (R)
فضای برداری حقیقی
که در آن θ، زاویه بین u و v است.
حالت بالا شاید سادهترین شکل برای درک نابرابری باشد، زیرا مجذور کسینوس حداکثر میتواند ۱ باشد، که زمانی اتفاق میافتد که بردارها در یک جهت یا مخالف هم باشند. همچنین می توان آن را بر حسب مختصات برداری
که در آن تساوی برقرار است اگر و فقط اگر بردار
فضای n-بعدی مختلط (C)
اگر
مراجع
- ↑ Mitrinović, D. S.; Pečarić, J. E.; Fink, A. M. (1993). "Classical and New Inequalities in Analysis". doi:10.1007/978-94-017-1043-5.
- ↑ The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, Ch. 1 by J. Michael Steele.
- ↑ "Sedrakyan's inequality". Wikipedia (به انگلیسی). 2022-01-15.
منابع
- محمد صالمصلحیان و فاطمه عبداللهزاده گنابادی، "بازنگاهی به نامساوی کوشی-شوارتس"، فرهنگ و اندیشۀ ریاضی سال ٣۶، شمارۀ ۶١ (پاییز و زمستان ١٣٩۶) صص. ٩٩ تا ١١۵