نابرابری گرانوال

نابرابری گرانوال که در ریاضیات به آن لم گرانوال یا نابرابری گرانوال- بلمن گفته می‌شود، این امکان را می‌دهد که یک تابع که نابرابری دیفرانسیلی یا نابرابری انتگرالی خاصی را ارضا می‌کند، به وسیلهٔ تابع پاسخ معادلهٔ دیفرانسیل و یا معادلهٔ انتگرالی متناظر محدود کنیم. نابرابری گرانوال ابزار مهمی برای رسیدن به تخمین‌های مناسب در نظریهٔ معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل تصادفی است. فرم دیفرانسیلی این نابرابری در سال ۱۹۱۹ توسط گرانوال و فرم انتگرالی آن در سال ۱۹۴۳ توسط ریچارد بلمن به اثبات رسید.

لم گرانوال

فرض کنید تابع $g(t)$

یک تابع حقیقی‌مقدار و پیوسته باشد که در نابرابری

g(t)\geq 0

صدق می‌کند،و هم‌چنین

$g(t)\leq C+K\int _{0}^{t}g(s)ds$

باشد، که $t\in [0,a]$

و

C

و

K

ثوابت مثبت باشند، آنگاه برای

t\in [0,a]

داریم:

$g(t)\leq Ce^{Kt}$

اثبات

فرض کنید برای تمام $t\in [0,a]$

داریم:

G(t)=C+K\int _{0}^{t}g(s)ds

، حال

G(t)\geq g(t)

و

G(t)>0

است برای تمام

t\in [0,a]

. از قضیه‌ی اساسی حسابان نتیجه می‌شود که:

$G'(t)=Kg(t)$

آنگاه نتیجه می‌شود که :

${\frac {G'(t)}{G(t)}}={\frac {Kg(t)}{G(t)}}\leq {\frac {KG(t)}{G(t)}}\leq K$

برای تمام $t\in [0,a]$

. و این رابطه برابر است با:

${\frac {d}{dt}}(logG(t))\leq K$

یا

$logG(t)\leq Kt+logG(0)$

یا

$G(t)\leq G(0)e^{Kt}=Ce^{Kt}$

که برای تمام $t\in [0,a]$

نتیجه می‌شود که

g(t)\leq Ce^{Kt}

منابع

↑ Gronwall, Thomas H. (1919), "Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations", Ann. of Math., 20 (2): 292–296, JFM 47.0399.02, JSTOR 1967124, MR 1502565
↑ Bellman, Richard (1943), "The stability of solutions of linear differential equations", Duke Math. J., 10 (4): 643–647, doi:10.1215/s0012-7094-43-01059-2, MR 0009408, Zbl 0061.18502
↑ Lawrence Perko، Differential Equations and Dynamical Systems، 80.

[gronwall-1] Gronwall, Thomas H. (1919), "Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations", Ann. of Math., 20 (2): 292–296, JFM 47.0399.02, JSTOR 1967124, MR 1502565

[2] Bellman, Richard (1943), "The stability of solutions of linear differential equations", Duke Math. J., 10 (4): 643–647, doi:10.1215/s0012-7094-43-01059-2, MR 0009408, Zbl 0061.18502

[3] Lawrence Perko، Differential Equations and Dynamical Systems، 80.