معادله تولمن–اوپنهایمر–ولکوف

Tolman–Oppenheimer–Volkoff equation

از حل معادلات میدان اینشتین برای نواحی جرم دار که در آن عناصر تنسور ضربه-انرژی صفر نیستند (و قطعاً به چگالی جرم و انرژی میدان مرتبط می‌باشند.) می‌توان عناصر متریک (سنجه) فضا-زمان را در داخل اجرام ثقیل (همچون ستاره های نوترونی) به صورت تابعی از شعاع و جرم آنها محاسبه کرده و سپس فشار داخلی جرم نسبیتی را بر حسب شعاع ارائه دهیم:

${\displaystyle \frac{dP(r)}{dr}=-\frac{G}{r^2}\left[\rho (r)+\frac{P(r)}{c^2}\right]\left[M(r)+4\pi r^3\frac{P(r)}{c^2}\right]{\left[1-\frac{2GM(r)}{c^{2}r}\right]}^{-1}}$

روش حل بدین قرار است که می دانیم برای پیوستار چهار بعدی فضا-زمان متریک متقارن چنین است:

${\displaystyle c^{2}d{\tau }^2=g_{00}d{t}^2+g_{11}d{r}^2+g_{22}d{\theta }^2+g_{33}d{\varphi }^2}$

و برای مدل کروی به صورت تابعی از شعاع کره دارای مؤلفه‌های مکانی و زمانی متغیر با شعاع است:

${\displaystyle g_{00}=e^{\nu (r)}{c}^2}$

و ${\displaystyle g_{11}=-e^{\lambda (r)}}$

لذا فرم کلی آن برا این اساس چنین خواهد بود:

${\displaystyle c^{2}d{\tau }^2=e^{\nu (r)}{c}^{2}d{t}^2-e^{\lambda (r)}d{r}^2-r^{2}d{\theta }^2-r^2{\sin }^2\theta d{\varphi }^2}$

پس از محاسبه عناصر تنسور اینشتین برای این متریک و سپس با در اختیار داشتن تنسور ضربه-انرژی و قرار دادن این مقادیر در معادلات میدان اینشتین به راحتی می‌توان عناصر مکانی و زمانی این متریک را طوری بدست آورد که:

${\displaystyle d{s}^2=e^{\nu (r)}{c}^{2}d{t}^2-(1-2GM(r)/r{c}^2{)}^{-1}d{r}^2-r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)}$

${\displaystyle \frac{d\nu (r)}{dr}=-\left(\frac{2}{P(r)+\rho (r)c^2}\right)\frac{dP(r)}{dr}}$