مشخصه اویلر

مشخصه اویلر ${\displaystyle \chi }$

که V, E و F به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند. مشخصهٔ اویلر برای هر چندوجهی کوژ به‌صورت زیر است:

این نتیجه با عنوان فرمول چندوجهی اویلر یا قضیهٔ چندوجهی اویلر شناخته می‌شود. بررسی این رابطه در مورد چندوجهی‌های مختلف در جدول زیر نشان داده شده‌است:

Name	Image	رأس‌ها V	اضلاع E	وجه‌ها F	مشخصهٔ اویلر: V − E + F
چهاروجهی		۴	۶	۴	۲
مکعب		۸	۱۲	۶	۲
هشت‌وجهی		۶	۱۲	۸	۲
دوازده‌وجهی		۲۰	۳۰	۱۲	۲
بیست‌وجهی		۱۲	۳۰	۲۰	۲

سطح چندوجهی‌های غیرکوژ، می‌تواند مشخصه‌های اویلر متفاوتی داشته باشد:

مشخصه اویلر می‌تواند برای سطوح عمومی به آسانی و با چندضلعی‌کردن سطوح و استفاده از تعریف بالا محاسبه شود:

توپ فوتبال

معمولاً ساخت توپ‌های فوتبال از طریق دوخت قطعات پنج ضلعی و شش ضلعی، با رسیدن سه قطعه به هم در هر رأس صورت می‌گیرد. اگر از P پنج ضلعی و H شش ضلعی استفاده شود، F = P + H وجه، V = (5 P + 6 H) / ۳ رأس و E = (5 P + 6 H) / ۲ ضلع وجود دارد پس مشخصه اویلر برابر با ${\displaystyle V-E+F=\frac{5P+6H}{3}-\frac{5P+6H}{2}+P+H=\frac{P}{6}.}$

از آنجا که کره دارای مشخصه اویلر ۲ است، از این رو P = ۱۲ نتیجه می‌شود؛ یعنی یک توپ فوتبال که به این روش ساخته می‌شود، همیشه دارای ۱۲ پنج ضلعی است. در اصل، تعداد شش ضلعی‌ها محدود نیست. این نتیجه در مورد فولرن‌ها و چندوجهی‌های گلدبرگ قابل استفاده است.

• یادواره‌های لئونارد اویلر