فاصله

در هندسهٔ اقلیدسی، انواع مختلفی از فاصله تعریف می‌شود؛ امّا به طور کلّی منظور از «فاصله» همان فاصلهٔ اقلیدسی است.

فاصلهٔ اقلیدسی

به طول کوتاه‌ترین خط بین دو نقطه‌ی ${\displaystyle A}$

در هندسهٔ تحلیلی فاصلهٔ بین دو نقطه‌ی ${\displaystyle A=(A_x,A_y)}$

${\displaystyle \overline{AB}=\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}=\sqrt{(A_x-B_x{)}^2+(A_y-B_y{)}^2}}$

این فرمول را می‌توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد؛ یعنی اگر ${\displaystyle A=(A_1,A_2,\dots ,A_n)}$

${\displaystyle \overline{AB}=\sqrt{\sum _{i=1}^n(\mathrm{\Delta }{A}_i{)}^2}=\sqrt{(A_1-B_1{)}^2+(A_2-B_2{)}^2+\cdots +(A_n-B_n{)}^2}}$

فاصله میان نقطه و خط

فاصله میان نقطه (${\displaystyle P=(x_p,y_p}$

${\displaystyle d(P,l)=\sqrt{(x_p-x_0-{\lambda }_q(x_1-x_0){)}^2+(y_p-y_0-{\lambda }_q(y_1-y_0){)}^2}}$

که در آن:

${\displaystyle {\lambda }_q=\frac{(x_1-x_0)(x_p-x_0)+(y_1-y_0)(y_p-y_0)}{(x_1-x_0{)}^2+(y_1-y_0{)}^2}}$

اگر مقدار ${\displaystyle {\lambda }_q}$

فاصلهٔ منهتنی

در منهتن انتخاب بین مسیر‌های زرد و آبی و قرمز فرقی در مسافت طی‌شدهٔ نهایی ایجاد نمی‌کند

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

نام این نوع فاصله از منهتن در نیویورک آمریکا الهام گرفته شده؛ به این دلیل که نقشهٔ جادّه‌های آنجا بلوک‌بندی شده. فاصلهٔ منهتنی دو خانه برابر مسافتی ست که یک تاکسی باید طی کند تا به مقصد برسد.

فاصلهٔ منهتنی دو نقطه‌ی ${\displaystyle A=(A_x,A_y)}$

${\displaystyle {\mathrm{d}}_1(A,B)=\left|\mathrm{\Delta }x\right|+\left|\mathrm{\Delta }y\right|}$

این فرمول را نیز می‌توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد.

فاصلهٔ شطرنجی (فاصلهٔ چبیشف)

این نوع فاصله به این دلیل شطرنجی نامیده شده که در شطرنج برابر تعداد نوبت‌های مورد نیاز شاه برای رسیدن به مقصدش می‌باشد.

فاصلهٔ شطرنجی دو نقطه‌ی ${\displaystyle A=(A_x,A_y)}$

${\displaystyle {\mathrm{d}}_{\mathrm{\infty }}(A,B)=max\{\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y\}}$

این فرمول را نیز می‌توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد.

تعمیم و فاصلهٔ مینکوفسکی

در فضای ${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$

${\displaystyle {\left(\sum _{i=1}^n{\left|A_i-B_i\right|}^p\right)}^{1/p}}$

فاصلهٔ منهتنی معادل ۱-نرم، فاصلهٔ شطرنجی معادل ∞-نرم و فاصلهٔ اقلیدسی معادل ۲-نرم (${\displaystyle {\mathrm{d}}_2}$

در نظریّهٔ گراف‌ها، فاصلهٔ دو رأس (با نماد ${\displaystyle d}$