متریک رایسنر-نوردشتروم

در مختصات کروی (t, r, θ, φ)، عنصر خط برای متریک ریسنر-نوردشتروم به صورت زیر است :

${\displaystyle d{s}^2=\left(1-\frac{r_{\mathrm{S}}}{r}+\frac{r_Q^2}{r^2}\right)c^{2}d{t}^2-\frac{1}{1-r_{\mathrm{S}}/r+r_Q^2/r^2}d{r}^2-r^{2}d{\theta }^2-r^2{\sin }^2\theta d{\varphi }^2,}$

که در آن c برابر با سرعت نور، t مختصات زمان (که با یک ساعت در حال سکون در بی‌نهایت اندازه‌گیری می‌شود)، r مختصات شعاعی، r_S = 2GM/c شعاع شوارتزشیلد جسم و r_Q یک مقیاس طولی ویژگی است که از رابطه زیر به دست می‌آید:

${\displaystyle r_Q^2=\frac{Q^{2}G}{4\pi {\epsilon }_0{c}^4}.}$

در اینجا 1/4πε₀ ثابت نیروی کولنی است.

در نقطه حدی که بار Q (یا معادل طول-مقیاس آن r_Q) به سمت صفر میل می‌کند، به شعاع شوارتزشیلد باز می‌گردیم. در نقطه حدی که نسبت r_S/r به صفر میل می‌کند نیز به مکانیک نیوتنی برمی گردیم. در نقاط حدی که هردوی r_Q/r و r_S/r به صفر میل کنند، متریک به متریک مینکوفسکی نسبیت خاص تبدیل می‌شود.

در عمل، نسبت r_S/r اغلب بسیار کوچک است. مثلاً شعاع شوارتزشیلد زمین تقریباً ۹ میلی‌متر است در حالیکه یک ماهواره در یک مدار زمین‌هم‌زمان شعاع شوارتزشیلدی در حدود چهار میلیارد بار بزرگتر یعنی ۴۲٬۱۶۴ کیلومتر دارد. حتی در سطح زمین اصلاحات لازم در گرانش نیوتنی یک بخش در میلیارد هستند.این نسبت تنها در نزدیکی سیاهچاله‌ها و سایر اجسام فوق فشرده مانند ستاره‌های نوترونی بزرگ می‌شود.

• Reissner, H (1916). "Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie". Annalen der Physik. 50: 106–120. Bibcode:1916AnP...355..106R. doi:10.1002/andp.19163550905.
• Nordström, G (1918). "On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory". Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap., Afdel. Natuurk., Amsterdam. 26: 1201–1208.
• Adler, R (1965). Introduction to General Relativity. New York: McGraw-Hill Book Company. pp. 395–401. ISBN 978-0-07-000420-7.
• Wald, RM (1984). General Relativity. Chicago: The University of Chicago Press. pp. 158, 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8.

• spacetime diagrams including Finkelstein diagram and نمودار پنروز, by Andrew J. S. Hamilton
• "Particle Moving Around Two Extreme Black Holes" by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.