ماتریس خودتوان
در جبر خطی، ماتریس خودتوان ماتریسی است که اگر آن را در خودش ضرب کنیم، خودش حاصل شود. به عبارتی ماتریس
مثالها
نمونههایی از ماتریسهای خودتوان ۲×۲:
ماتریس ۲×۲
اگر ماتریس
- که نتیجه میدهدبنابراینیا
- که نتیجه میدهدبنابراینیا
بنابراین شرط لازم برای خودتوانی این ماتریس ۲×۲ آن است که یا ماتریس قطری باشد یا اثر آن برابر با ۱ شود؛ همچنین برای ماتریس قطری خودتوان،
با نگاهی دوباره به ماتریس ارائه شده، اگر
که نمایانگر دایرهای به مرکز
با این حال، شرط
ویژگیها
وارون پذیری
تنها ماتریس خودتوانِ وارون پذیر، ماتریس همانی است.
این گزاره را میتوان از تعریف بهدستآورد؛ عبارت
همچنین میتوان نشان داد که اگر ماتریسی خودتوان از یک ماتریس همانی کسر گردد، حاصل خودتوان است:
ماتریس A خودتوان است اگر و تنها اگر برای هر عددهای صحیح مثبت n,
مقادیر ویژه
تمامی ماتریسهای خودتوان، شبه قطری هستند و مقادیر ویژه آنها صفر یا یک اند.
اثر
اثر ماتریس خودتوان، همواره برابر با رتبه ماتریس است (در نتیجه همواره برابر با یک عدد صحیح است). بنابراین یک روش ساده برای محاسبهٔ رتبهٔ یک ماتریس، یا محاسبهٔ اثر ماتریس محسوب میشود آنگاه که عناصر آن ماتریس به صورت دقیق مشخص نشدهاند. (که کاربردهایی در آمار و محاسبهٔ واریانس دارد)
جستارهای وابسته
منابع
- ↑ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). New York: McGraw–Hill. p. 80. ISBN 0-07-010813-7.
- ↑ Greene, William H. (2003). Econometric Analysis (5th ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice–Hall. pp. 808–809. ISBN 0-13-066189-9.
- ↑ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Matrix analysis. Cambridge University Press. p. p. 148. ISBN 0-521-38632-2.