ماتریس خودوارون

در ریاضیات، ماتریس خودوارون (به انگلیسی: Involutory Matrix)، یک ماتریس مربعی است که معکوس خودش است. ماتریسی همچون ماتریس A خودوارون و دارای خاصیت پیچش است اگر و تنها اگر $A^{2}=I$

.

ماتریس‌های خودوارون همگی جذرهای ماتریس همانی هستند. این امر بدیهی است زیرا هر ماتریس وارون‌پذیر ضرب در معکوسش برابر با ماتریس همانی است.

مثال‌ها

ماتریس‌های ۲×۲ با مقادیر حقیقی ${\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}$

خودوارون است مشروط بر اینکه

a^{2}+bc=1.

ماتریس‌های پاولی در M(2,C) خودروارون هستند:

{\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

چند نمونه ساده از ماتریس‌های غیرارادی در زیر نشان داده شده‌است.

{\begin{array}{cc}\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}};&\mathbf {I} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {R} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}};&\mathbf {R} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}};&\mathbf {S} ^{-1}={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\\\end{array}}

منابع

↑ Higham, Nicholas J. (2008), "6.11 Involutory Matrices", Functions of Matrices: Theory and Computation, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), pp. 165–166, doi:10.1137/1.9780898717778, ISBN 978-0-89871-646-7, MR 2396439.

[higham-1] Higham, Nicholas J. (2008), "6.11 Involutory Matrices", Functions of Matrices: Theory and Computation, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), pp. 165–166, doi:10.1137/1.9780898717778, ISBN 978-0-89871-646-7, MR 2396439.