قضیه گوس-مارکوف
در علم آمار، قضیه گوس-مارکف (به انگلیسی: Gauss–Markov theorem) بیان میکند که در یک مدل خطی که خطاهای آن امید ریاضی صفر داشته، ناهمبسته بوده، و واریانسهای مساوی دارند، بهترین برآوردگر خطی نااریب برای ضرایب سیستم برابر برآوردگر کمترین مربعات میباشد. شرح مدل خطی به صورت دقیقتر اینگونهاست که
بطوری که
صورت قضیه
تساوی زیر را که به شکل ماتریسی نوشته شدهاست، در نظر بگیرید:
که فرم باز شدهٔ آن به شکل زیر در میآید:
در اینجا
- همهٔ آنها دارای میانگین صفر میباشند:
- جملههای خطا، واریانس همسانی دارند بدین معنی که واریانس آنها محدود است:
- جملههای خطای متمایز ناهمبسته میباشند:
برآوردگر خطی
ضرایب
عبارت
توجه کنید چون در اینجا برآوردگر تمام پارامترها نااریب میباشند در نتیجه عبارت بالا معادل واریانس ترکیب خطی مذکور میباشد.
بهترین برآوردگر خطی نااریب بردار پارامترهای
که در آن
ایدهٔ اصلی اثبات این است که برآوردگر حداقل مربعات معمولی با هر برآوردگر خطی نااریب دیگر ناهمسبته میباشد. در ادامه به اثبات قضیه میپردازیم.
اثبات
شرط نااریب بودن برآوردگر بالا تنها در صورتی برقرار است که
چون
جستارهای وابسته
پانویس
- ↑ Hinkelmann, Klaus (1994), Design and Analysis of Experiments: Introduction to experimental design (به انگلیسی), به کوشش Klaus Hinkelmann, Oscar Kempthorne. Oscar Kempthorne, John Wiley and Sons, p. p. 117
- ↑ Hastie, Trevor (2007), The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction (به انگلیسی), Jerome Friedman, Robert Tibshirani, Springer, p. p. 49
- ↑ Davidson, Russell، Mackinnon, David (۲۰۰۴). Econometric Theory And Methods. Canada: Oxford University Press. شابک ۰۱۹۵۱۲۳۷۲۷, ۹۷۸۰۱۹۵۱۲۳۷۲۲.
- Davison, Russell, MacKinnon, David. Econometric Theory And Methods Canada: Oxford university press, 2004.
- ویکیپدیای انگلیسی