قضیه نقطه ثابت

طریقه استفاده از روش برای حل معالات:

۱- شکل معادله را به صورت${\displaystyle f(x)=x}$

۲- عددی دلخواه را به جای ${\displaystyle x}$

۳- مقدار ${\displaystyle f(k)}$

۴- عمل فوق را به‌طور نامتناهی انجام می‌دهیم و به جواب نزدیک تر خواهیم شد.

حل معادله ${\displaystyle x^x=2}$

مرحله اول:

${\displaystyle x^x=2}$

در نتیجه

${\displaystyle x=\sqrt[x]{2}}$

مرحله دوم: مقدار اولیه k=۴

${\displaystyle x=\sqrt[4]{2}=\mathrm{1.1892071500....}}$

مرحله سوم: k=۱٫۸۹۲۰۷۱۵۰

${\displaystyle x=\sqrt[1.89207150]{2}=1.44244994}$

مرحله چهارم: k=۱٫۴۴۲۴۴۹۹۴

${\displaystyle x=\sqrt[1.44244994]{2}=1.616938}$

مرحله پنجم: k=۱٫۶۱۶۹۳۸

${\displaystyle x=\sqrt[1.616938]{2}=1.53522}$

مرحله ششم: k=۱٫۵۳۵۲۲

${\displaystyle x=\sqrt[1.53522]{2}=1.57006}$

پس جواب معاله تا یک رقم اعشار:

${\displaystyle x=\mathrm{1.5...}}$

با انجام عمل متوالی بالا به تقریب‌های دقیق تری از جواب خواهید رسید.

به مراحل حل معادله توجه کنید ${\displaystyle x=f(x)}$

${\displaystyle x=f(f(x))}$

${\displaystyle x=f(f(f(x)))}$

که دنباله زیر را تشکیل می‌دهند.

${\displaystyle x,f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),\dots }$

در صورتی که این دنباله واگرا نباشد و همگرا باشد به جواب می‌رسیم.

• نقطه ثابت

• «حل معادلات با تقریب دلخواه»جشنواره جوان خوارزمی، شهریور ۱۳۹۱

• توضیحی برای روش نقطه ثابت