قضیه آرتین–ریس

قضیه آرتین-ریس یا لم آرتین-ریس قضیه ای است در جبر جابجایی که افزون بر آن کاربردهایی در هندسه جبری نیز دارد. این قضیه به افتخار امیل آرتین و دیوید ریس نامگذاری شده است.

صورت قضیه

فرض کنید $I$

یک ایده‌آل حلقه جابجایی نوتری

R

باشد. همچنین فرض کنید

M

یک مدول متناهی مولد روی

R

و

N\subseteq M

یک زیرمدول باشد. آنگاه یک عدد طبیعی

k

موجود است که برای هر

i\geq k

داریم:

I^{i}M\cap N=I^{i-k}(I^{k}M\cap N)

.

کاربرد

اگر $M$

مدول دلخواه روی حلقه جابجایی دلخواه

R

باشد آنگاه

IM\supset I^{2}M\supset I^{3}M\supset \ldots

یک پایه برای توپولوژی نزدیک $0$

و در نتیجه یک پایه برای توپولوژی روی

M

تعریف میکند. این توپولوژی به توپولوژی $I$ -ادیک نامبردار است. در این توپولوژی، یک زیرمجموعه

U\subset M

باز است اگر و تنها اگر برای هر

x\in U

یک

i\in \mathbb {N}

وجود داشته باشد به گونه ای که

x+I^{i}M\subseteq U

.

بدینسان $N$

به عنوان زیر مجموعه

M

به صورت طبیعی دارای یک توپولوژی القا شده به وسیله توپولوژی

I

-ادیک

M

می باشد. ولی

N

به عنوان یک مدول روی

R

خود دارای یک توپولوژی

I

-ادیک است (درست همانگونه که این توپولوژی برای

M

تعریف شد). قضیه آرتین-ریس میگوید که اگر حلقه

R

نوتری و مدول

M

متناهی مولد باشد این دو توپولوژی روی

N

با هم هم ارز و یکسان هستند.

منابع

Siegfried Bosch: Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer-Verlag 2012
David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer-Verlag, 1995