توان (فیزیک)

بعد توان انرژی بخش بر زمان است. یکای SI توان همان وات (W) است که برابر است با یک ژول بر ثانیه. از دیگر یکاهای توان می‌توان ارگ بر ثانیه (erg/s)، اسب بخار (hp)، فوت-پوند بر دقیقه یا یکای بریتانیایی حرارت بر ساعت (BTU/h) را خاطر نشان کرد.

به عنوان یک نمونه ساده، سوزاندن یک کیلوگرم زغال سنگ خیلی بیشتر از منفجر کردن یک کیلوگرم تی‌ان‌تی انرژی آزاد می‌کند، ولی چون واکنش تی‌ان‌تی سریع‌تر انرژی آزاد می‌کند توان خیلی بالاتر از زغال‌سنگ می‌رساند. اگر ΔW مقدار کار انجام شده در مدت زمان Δt باشد، آنگاه توان متوسط این‌گونه تعریف می‌شود:

${\displaystyle P_{avg}=\frac{\mathrm{\Delta }W}{\mathrm{\Delta }t}}$

پس توان لحظه‌ای مقدار حد توان متوسط است هنگامی که Δt به صفر میل می‌کند.

${\displaystyle P=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}{P}_{avg}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }W}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}}$

اگر توان P ثابت باشد، مقدار کار انجام شده در مدت زمان Τ این‌گونه محاسبه می‌شود:

${\displaystyle W=PT}$

اگر انرژی تبدیل شده باشد، نماد E بیشتر از نماد W بکار می‌رود.

توان در سامانه‌های مکانیکی، آمیزشی از نیروها و حرکت است. به‌طور خاص، توان حاصل‌ضرب نیروی وارد بر جسم در سرعت آن یا حاصل‌ضرب گشتاور اعمال شده بر یک محور و سرعت زاویه‌ای آن است. توان مکانیکی نیز به صورت مشتق زمان کار تعریف می‌شود. در مکانیک، کار مکانیکی انجام داده شده توسط یک نیروی F بر روی جسمی که خم С را طی می‌کند را می‌توان با انتگرال خطی زیر پیدا کرد:

${\displaystyle W_C={\int }_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{x}={\int }_C\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}\mathrm{d}\mathrm{t}}$

به‌طوری‌که x متغیر مستقل خم C است و v سرعت در مسیر است. مشتق زمان این معادله، توان لحظه‌ای را می‌دهد:

${\displaystyle P(t)=\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}}$

در سامانه‌های چرخشی توان برابرست با حاصل‌ضرب گشتاور τ و سرعت زاویه‌ای ω.

${\displaystyle P(t)=\mathit{\tau }\cdot \mathit{\omega }}$

در سامانه‌های سیال مانند محرک‌های هیدرولیکی (اَکتواتُرها) توان برابرست با حاصل‌ضرب فشار p به پاسکال (N/m²) در آهنگ شارش حجمی Q در متر مکعب بر ثانیه (m/s):

${\displaystyle P(t)=pQ}$

اگر سامانه مکانیکی هیچ تلفاتی نداشته باشد، توان ورودی با توان خروجی برابر است. این اصل به ما فرمول ساده‌ای برای مزیت مکانیکی سامانه می‌دهد. اگر توان ورودی سامانه، نیروی F_A وارد بر نقطه‌ای با سرعت v_A و توان خروجی سامانه نیروی F_B وارد بر نقطه‌ای با سرعت v_B باشد و هیچ تلفاتی در سامانه نداشته باشیم، آنگاه:

${\displaystyle P=F_A{v}_A=F_B{v}_B}$

و مزیت مکانیکی سامانه این‌گونه بدست می‌آید:

${\displaystyle \mathrm{M}\mathrm{A}=\frac{F_B}{F_A}=\frac{v_A}{v_B}}$

روابط مشابهی برای سامانه‌های چرخشی موجودند:

اگر توان ورودی سامانه دارای گشتاور T_A و سرعت زاویه‌ای ω_A باشد و توان خروجی سامانه دارای گشتاور T_B و سرعت زاویه‌ای ω_B باشد و سامانه هیچ تلفاتی نداشته باشد، آنگاه داریم:

${\displaystyle P=T_A{\omega }_A=T_B{\omega }_B}$

و مزیت مکانیکی سامانه این‌گونه بدست می‌آید:

${\displaystyle \mathrm{M}\mathrm{A}=\frac{T_B}{T_A}=\frac{{\omega }_A}{{\omega }_B}}$

این روابط برای تعریف کارایی بیشینه سیستم از لحاظ نسبت سرعت‌ها مفیدند. برای فهم بهتر اهمیت آن‌ها این ویکی را بخوانید.

در نورشناسی، یا رادیومتری، واژه توان گاهی به معنی شار تابشی است (نسبت متوسط جابه‌جایی انرژی توسط امواج الکترومغناطیسی که یکای آن وات است) یا به توان دیوپتری یک عدسی یا آینه (مقیاسی از توانایی فوکوس کردن نور که یکای آن دیوپتر (m)است: P=1/f) اشاره دارد.

توان لحظه‌ای الکتریکی ای که به مؤلفه‌ای از مدار می‌رسد برابرست با:

${\displaystyle P(t)=I(t)\cdot V(t)}$

به‌طوری که: ${\displaystyle P(t)}$

اگر مؤلفه یک مقاومت (قطعه الکتریکی) باشد که نسبت ولتاژ به شدت جریان آن زمان-ناوردا است، آنگاه داریم:

${\displaystyle P=I\cdot V=I^2\cdot R=\frac{V^2}{R}}$

به‌طوری‌که ${\displaystyle R=\frac{V}{I}}$

در مورد سیگنال متناوب ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle {ϵ}_{\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{e}}={\int }_0^{T}p(t)\mathrm{d}t}$

آنگاه توان متوسط این‌گونه بدست می‌آید:

${\displaystyle P_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}p(t)\mathrm{d}t=\frac{{ϵ}_{\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{e}}}{T}}$

می‌توانیم طول پالس τ را طوری تعریف کنیم که: ${\displaystyle P_0\tau ={ϵ}_{\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{e}}}$

${\displaystyle \frac{P_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}}{P_0}=\frac{\tau }{T}}$