حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 4 دقیقه
لینک کوتاه

قانون لگاریتم‌های تکراری

قانون لگاریتم‌های تکراری، اولین بار توسط A. Y. Khinchin (به فارسی: خین‎چین) در سال ۱۹۲۴ و بعدها، در سال ۱۹۲۹ به وسیله A. N. Kolmogorov (به فارسی: کولموگوروف) به صورت کامل‎تری بیان شد. همچنین ریشه این قانون به یک مسئله خاص در نظریه اعداد بازمی‌گردد.

فهرست

  • ۱ مقدمه
  • ۲ مثال
  • ۳ جستارهای وابسته
  • ۴ منابع

مقدمه

از قانون Hewitt-Savage 0-1(به فارسی: هویت سوج) می‌دانیم اگر X 1 , X 2 , . . . , X n

متغیرهای تصادفی حقیقی با توزیع متقارن حول 0
باشند و S n = ∑ j = 1 n X j
باشد، آنگاه داریم:

− ∞ = lim inf n → ∞ S n < lim sup n → ∞ S n = ∞
که منظور از lim sup n → ∞ S n
و lim inf n → ∞ S n
به ترتیب حد سوپریمم و حد اینفیمم است.

حال اگر بخواهیم کمی دقیق‎تر عبارت بالا را توسعه دهیم، باید از قانون Hartman-Wintner (به فارسی: هارتمن وینتنر) استفاده کنیم که بیان می‌کند:

lim inf n → ∞ S n − ϕ ( n ) = lim sup n → ∞ S n ϕ ( n ) = 1 a l m o s t   s u r e l y
و برای هر S n
ای که شرایط زیر را داشته باشد:

{ E [ X n ] = 0 V a r [ X n ] = σ 2 = f i n i t e

داریم:
نقاط خط چین در شکل مربوط به عبارت 2 log ⁡ log ⁡ ( n ) / n
است و خط پر رنگ مربوط به S n / n
است؛ و همچنین S n
مربوط به سری S n = 2 ∑ k = 1 n x k − n
است که در آن X k
، k
امین رقم اعشاری عدد π
در سیستم دودویی است.

lim sup n → ∞ S n 2 σ 2 n log ⁡ log ⁡ ( n ) = 1 a l m o s t   s u r e l y
برای درک بهتر مطالب بالا به شکل روبرو توجه کنید. سری S n = 2 ∑ k = 1 n x k − n
را در نظر بگیرید که در آن X k
، k
امین رقم اعشاری عدد π
در سیستم دودویی است. دو نمودار 2 log ⁡ log ⁡ ( n ) / n
(نقطه چین) و S n / n
(خط پررنگ) رسم شده‌است و به وضوح می‌توان دید که وقتی n ⟶ ∞
این دو نمودار به هم همگرا می‌شوند.

مثال

فرض کنید با دوستتان سنگ، کاغذ، قیچی بازی می‌کنید به طوری که شما به احتمال ۱/۳ برنده می‌شوید، به احتمال ۱/۳ بازنده‌اید و به احتمال ۱/۳ کسی برنده نمی‌شود. اگر برنده شوید ۱ ریال دریافت می‌کنید، اگر بازنده شوید ۱ ریال به دوستتان می‌دهید و اگر کسی برنده نشود هیچ اتفاقی نمی‌افتد.

متغیر تصادفی X n

را مقدار پولی در نظر بگیرید که در مرحله n
ام بازی باید بپردازید به این ترتیب برای متغیر تصادفی مقادیر زیر را داریم:

X n = { − 1 , 0 , 1 }
که احتمال رویدادن هر کدام ۱/۳ است.

حال اگر S n

را به صورت زیر تعریف کنیم:

S n = X 1 + X 2 + . . . + X n = ∑ j = 1 n X j
مقدار S n
بیانگر مقدار کل پرداختی ما تا مرحله n
ام خواهد بود. ما علاقه‌مند به رفتار S n
در طولانی مدت هستیم.

برای ابن مثال خاص که صحبت شد می‌توان به سادگی نشان داد که:

{ E [ X n ] = ∑ X n P ( X n ) = 0 V a r [ X n ] = E [ X n 2 ] − ( E [ X n ] ) 2 = σ 2 = 2 3

و با جاگذاری مقادیر بالا داریم:

lim sup n → ∞ S n 4 3 n log ⁡ log ⁡ ( n ) = 1 a l m o s t   s u r e l y

جستارهای وابسته

  • قانون اعداد بزرگ
  • قضیه حد مرکزی

منابع

  1. ↑ Khintchine, Aleksandr (1924). "Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung". Fundamenta Mathematicae. 6: 9–20. doi:10.4064/fm-6-1-9-20. ISSN 0016-2736.
  2. ↑ Kolmogoroff, A. (1929-12). [http://dx.doi.org/10.1007/bf01454828 "�ber das Gesetz des iterierten Logarithmus"]. Mathematische Annalen. 101 (1): 126–135. doi:10.1007/bf01454828. ISSN 0025-5831. ;
  3. ↑ W. FELLER (فوریه ۲۷, ۱۹۴۳). THE GENERAL FORM OF THE SO-CALLED LAW OF THE ITERATED LOGARITHM. صص. http://www٫ams٫org/journal-terms-of-use.
  4. ↑ Breiman، Leo (1992-01). Probability. Society for Industrial and Applied Mathematics. شابک ۹۷۸۰۸۹۸۷۱۲۹۶۴.
  5. ↑ "Law of the iterated logarithm". Wikipedia (به انگلیسی). 2018-03-28.
آخرین نظرات
  • چین
  • شابک
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.