قاعده خارج‌قسمت

قاعدهٔ خارج‌قسمت یکی از قواعد مشتق‌گیری در مبحث دیفرانسیل و انتگرال می‌باشد که به صورت زیر اعلام می‌شود. اگر تابع h به صورت خارج قسمت تقسیم دو تابع f و g برهم تعریف شود، برای مشتق آن داریم:

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad$

دقت شود که مقدار تابع g نباید مساوی ۰ شود.

که برای نقطهٔ a چنین می‌شود:

f'(a)={\frac {g'(a)h(a)-g(a)h'(a)}{[h(a)]^{2}}}.

همچنین طبق این قاعده برای مشتق مرتبه سوم می‌توان اینگونه عمل کرد:

f''(x)={\frac {g''(x)[h(x)]^{2}-2g'(x)h(x)h'(x)+g(x)[2[h'(x)]^{2}-h(x)h''(x)]}{[h(x)]^{3}}}.

اثبات

این روش به سادگی از قاعده ضرب و قاعده زنجیری حاصل می‌شود.

اگر قرار دهیم

f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}

آنگاه

g(x)=f(x)h(x){\mbox{  }}\,

g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x){\mbox{  }}\,

f'(x)={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}

f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^{2}}}

مثال

اگر بخواهیم مشتق عبارت $(4x-2)/(x^{2}+1)$

را بگیریم، داریم:

g(x)=4x-2

h(x)=x^{2}+1

پس طبق این قاعده مشتق به صورت زیر محاسبه می‌شود:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {(4x-2)}{x^{2}+1}}\right]&={\frac {(4)(x^{2}+1)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}

جستارهای وابسته

منابع

↑ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.
↑ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4.
↑ Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12th ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-321-58876-2.

[1] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.

[2] Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4.

[3] Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12th ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-321-58876-2.