حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 9 دقیقه
لینک کوتاه

فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی

در ادامه فهرستی از انتگرال نامعین توابع وارون مثلثاتی نوشته شده‌است، برای دیدن فهرست کامل صفحهٔ فهرست انتگرال‌ها را نگاه کنید.

هشدار:

  • C همان ثابت انتگرال‌گیری است که تنها زمانی مقدار دقیق آن معلوم می‌شود که داده‌ای از مقدار نهایی انتگرال در دسترس باشد؛ در غیر این صورت ثابت انتگرال‌گیری هر عددی می‌تواند باشد.
  • برای هر رابطهٔ نوشته شده برای توابع وارون مثلثاتی، می‌توان رابطهٔ مشابهی در میان انتگرال توابع وارون هذلولی پیدا کرد.

فهرست

  • ۱ تابع وارون سینوس یا Arcsine
  • ۲ تابع وارون کسینوس یا Arccosine
  • ۳ تابع وارون تانژانت یا Arctangent
  • ۴ تابع وارون کتانژانت یا Arccotangent
  • ۵ تابع وارون سکانت یا Arcsecant
  • ۶ تابع وارون کسکانت یا Arccosecant
  • ۷ منابع

تابع وارون سینوس یا Arcsine

∫ arcsin ⁡ ( a x ) d x = x arcsin ⁡ ( a x ) + 1 − a 2 x 2 a + C {\displaystyle \int \arcsin(a\,x)\,dx=x\arcsin(a\,x)+{\frac {\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}{a}}+C}
∫ x arcsin ⁡ ( a x ) d x = x 2 arcsin ⁡ ( a x ) 2 − arcsin ⁡ ( a x ) 4 a 2 + x 1 − a 2 x 2 4 a + C {\displaystyle \int x\arcsin(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\arcsin(a\,x)}{2}}-{\frac {\arcsin(a\,x)}{4\,a^{2}}}+{\frac {x{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}{4\,a}}+C}
∫ x 2 arcsin ⁡ ( a x ) d x = x 3 arcsin ⁡ ( a x ) 3 + ( a 2 x 2 + 2 ) 1 − a 2 x 2 9 a 3 + C {\displaystyle \int x^{2}\arcsin(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\arcsin(a\,x)}{3}}+{\frac {\left(a^{2}\,x^{2}+2\right){\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}{9\,a^{3}}}+C}
∫ x m arcsin ⁡ ( a x ) d x = x m + 1 arcsin ⁡ ( a x ) m + 1 − a m + 1 ∫ x m + 1 1 − a 2 x 2 d x ( m ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{m}\arcsin(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\arcsin(a\,x)}{m+1}}\,-\,{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}\,dx\quad (m\neq -1)}
∫ arcsin ⁡ ( a x ) 2 d x = − 2 x + x arcsin ⁡ ( a x ) 2 + 2 1 − a 2 x 2 arcsin ⁡ ( a x ) a + C {\displaystyle \int \arcsin(a\,x)^{2}\,dx=-2\,x+x\arcsin(a\,x)^{2}+{\frac {2{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arcsin(a\,x)}{a}}+C}
∫ arcsin ⁡ ( a x ) n d x = x arcsin ⁡ ( a x ) n + n 1 − a 2 x 2 arcsin ⁡ ( a x ) n − 1 a − n ( n − 1 ) ∫ arcsin ⁡ ( a x ) n − 2 d x {\displaystyle \int \arcsin(a\,x)^{n}\,dx=x\arcsin(a\,x)^{n}\,+\,{\frac {n{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arcsin(a\,x)^{n-1}}{a}}\,-\,n\,(n-1)\int \arcsin(a\,x)^{n-2}\,dx}
∫ arcsin ⁡ ( a x ) n d x = x arcsin ⁡ ( a x ) n + 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) + 1 − a 2 x 2 arcsin ⁡ ( a x ) n + 1 a ( n + 1 ) − 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ∫ arcsin ⁡ ( a x ) n + 2 d x ( n ≠ − 1 , − 2 ) {\displaystyle \int \arcsin(a\,x)^{n}\,dx={\frac {x\arcsin(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}}\,+\,{\frac {{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arcsin(a\,x)^{n+1}}{a\,(n+1)}}\,-\,{\frac {1}{(n+1)\,(n+2)}}\int \arcsin(a\,x)^{n+2}\,dx\quad (n\neq -1,-2)}

تابع وارون کسینوس یا Arccosine

∫ arccos ⁡ ( a x ) d x = x arccos ⁡ ( a x ) − 1 − a 2 x 2 a + C {\displaystyle \int \arccos(a\,x)\,dx=x\arccos(a\,x)-{\frac {\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}{a}}+C}
∫ x arccos ⁡ ( a x ) d x = x 2 arccos ⁡ ( a x ) 2 − arccos ⁡ ( a x ) 4 a 2 − x 1 − a 2 x 2 4 a + C {\displaystyle \int x\arccos(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\arccos(a\,x)}{2}}-{\frac {\arccos(a\,x)}{4\,a^{2}}}-{\frac {x{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}{4\,a}}+C}
∫ x 2 arccos ⁡ ( a x ) d x = x 3 arccos ⁡ ( a x ) 3 − ( a 2 x 2 + 2 ) 1 − a 2 x 2 9 a 3 + C {\displaystyle \int x^{2}\arccos(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\arccos(a\,x)}{3}}-{\frac {\left(a^{2}\,x^{2}+2\right){\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}{9\,a^{3}}}+C}
∫ x m arccos ⁡ ( a x ) d x = x m + 1 arccos ⁡ ( a x ) m + 1 + a m + 1 ∫ x m + 1 1 − a 2 x 2 d x ( m ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{m}\arccos(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\arccos(a\,x)}{m+1}}\,+\,{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}\,dx\quad (m\neq -1)}
∫ arccos ⁡ ( a x ) 2 d x = − 2 x + x arccos ⁡ ( a x ) 2 − 2 1 − a 2 x 2 arccos ⁡ ( a x ) a + C {\displaystyle \int \arccos(a\,x)^{2}\,dx=-2\,x+x\arccos(a\,x)^{2}-{\frac {2{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arccos(a\,x)}{a}}+C}
∫ arccos ⁡ ( a x ) n d x = x arccos ⁡ ( a x ) n − n 1 − a 2 x 2 arccos ⁡ ( a x ) n − 1 a − n ( n − 1 ) ∫ arccos ⁡ ( a x ) n − 2 d x {\displaystyle \int \arccos(a\,x)^{n}\,dx=x\arccos(a\,x)^{n}\,-\,{\frac {n{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arccos(a\,x)^{n-1}}{a}}\,-\,n\,(n-1)\int \arccos(a\,x)^{n-2}\,dx}
∫ arccos ⁡ ( a x ) n d x = x arccos ⁡ ( a x ) n + 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) − 1 − a 2 x 2 arccos ⁡ ( a x ) n + 1 a ( n + 1 ) − 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ∫ arccos ⁡ ( a x ) n + 2 d x ( n ≠ − 1 , − 2 ) {\displaystyle \int \arccos(a\,x)^{n}\,dx={\frac {x\arccos(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}}\,-\,{\frac {{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arccos(a\,x)^{n+1}}{a\,(n+1)}}\,-\,{\frac {1}{(n+1)\,(n+2)}}\int \arccos(a\,x)^{n+2}\,dx\quad (n\neq -1,-2)}

تابع وارون تانژانت یا Arctangent

∫ arctan ⁡ ( a x ) d x = x arctan ⁡ ( a x ) − ln ⁡ ( a 2 x 2 + 1 ) 2 a + C {\displaystyle \int \arctan(a\,x)\,dx=x\arctan(a\,x)-{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}+1\right)}{2\,a}}+C}
∫ x arctan ⁡ ( a x ) d x = x 2 arctan ⁡ ( a x ) 2 + arctan ⁡ ( a x ) 2 a 2 − x 2 a + C {\displaystyle \int x\arctan(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\arctan(a\,x)}{2}}+{\frac {\arctan(a\,x)}{2\,a^{2}}}-{\frac {x}{2\,a}}+C}
∫ x 2 arctan ⁡ ( a x ) d x = x 3 arctan ⁡ ( a x ) 3 + ln ⁡ ( a 2 x 2 + 1 ) 6 a 3 − x 2 6 a + C {\displaystyle \int x^{2}\arctan(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\arctan(a\,x)}{3}}+{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}+1\right)}{6\,a^{3}}}-{\frac {x^{2}}{6\,a}}+C}
∫ x m arctan ⁡ ( a x ) d x = x m + 1 arctan ⁡ ( a x ) m + 1 − a m + 1 ∫ x m + 1 a 2 x 2 + 1 d x ( m ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{m}\arctan(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\arctan(a\,x)}{m+1}}-{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{a^{2}\,x^{2}+1}}\,dx\quad (m\neq -1)}

تابع وارون کتانژانت یا Arccotangent

∫ arccot ⁡ ( a x ) d x = x arccot ⁡ ( a x ) + ln ⁡ ( a 2 x 2 + 1 ) 2 a + C {\displaystyle \int \operatorname {arccot}(a\,x)\,dx=x\operatorname {arccot}(a\,x)+{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}+1\right)}{2\,a}}+C}
∫ x arccot ⁡ ( a x ) d x = x 2 arccot ⁡ ( a x ) 2 + arccot ⁡ ( a x ) 2 a 2 + x 2 a + C {\displaystyle \int x\operatorname {arccot}(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arccot}(a\,x)}{2}}+{\frac {\operatorname {arccot}(a\,x)}{2\,a^{2}}}+{\frac {x}{2\,a}}+C}
∫ x 2 arccot ⁡ ( a x ) d x = x 3 arccot ⁡ ( a x ) 3 − ln ⁡ ( a 2 x 2 + 1 ) 6 a 3 + x 2 6 a + C {\displaystyle \int x^{2}\operatorname {arccot}(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arccot}(a\,x)}{3}}-{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}+1\right)}{6\,a^{3}}}+{\frac {x^{2}}{6\,a}}+C}
∫ x m arccot ⁡ ( a x ) d x = x m + 1 arccot ⁡ ( a x ) m + 1 + a m + 1 ∫ x m + 1 a 2 x 2 + 1 d x ( m ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{m}\operatorname {arccot}(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arccot}(a\,x)}{m+1}}+{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{a^{2}\,x^{2}+1}}\,dx\quad (m\neq -1)}

تابع وارون سکانت یا Arcsecant

∫ arcsec ⁡ ( a x ) d x = x arcsec ⁡ ( a x ) − 1 a arctanh 1 − 1 a 2 x 2 + C {\displaystyle \int \operatorname {arcsec}(a\,x)\,dx=x\operatorname {arcsec}(a\,x)-{\frac {1}{a}}\,\operatorname {arctanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}+C}
∫ x arcsec ⁡ ( a x ) d x = x 2 arcsec ⁡ ( a x ) 2 − x 2 a 1 − 1 a 2 x 2 + C {\displaystyle \int x\operatorname {arcsec}(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arcsec}(a\,x)}{2}}-{\frac {x}{2\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}+C}
∫ x 2 arcsec ⁡ ( a x ) d x = x 3 arcsec ⁡ ( a x ) 3 − 1 6 a 3 arctanh 1 − 1 a 2 x 2 − x 2 6 a 1 − 1 a 2 x 2 + C {\displaystyle \int x^{2}\operatorname {arcsec}(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arcsec}(a\,x)}{3}}\,-\,{\frac {1}{6\,a^{3}}}\,\operatorname {arctanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}\,-\,{\frac {x^{2}}{6\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}\,+\,C}
∫ x m arcsec ⁡ ( a x ) d x = x m + 1 arcsec ⁡ ( a x ) m + 1 − 1 a ( m + 1 ) ∫ x m − 1 1 − 1 a 2 x 2 d x ( m ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{m}\operatorname {arcsec}(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arcsec}(a\,x)}{m+1}}\,-\,{\frac {1}{a\,(m+1)}}\int {\frac {x^{m-1}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}}\,dx\quad (m\neq -1)}

تابع وارون کسکانت یا Arccosecant

∫ arccsc ⁡ ( a x ) d x = x arccsc ⁡ ( a x ) + 1 a arctanh 1 − 1 a 2 x 2 + C {\displaystyle \int \operatorname {arccsc}(a\,x)\,dx=x\operatorname {arccsc}(a\,x)+{\frac {1}{a}}\,\operatorname {arctanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}+C}
∫ x arccsc ⁡ ( a x ) d x = x 2 arccsc ⁡ ( a x ) 2 + x 2 a 1 − 1 a 2 x 2 + C {\displaystyle \int x\operatorname {arccsc}(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arccsc}(a\,x)}{2}}+{\frac {x}{2\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}+C}
∫ x 2 arccsc ⁡ ( a x ) d x = x 3 arccsc ⁡ ( a x ) 3 + 1 6 a 3 arctanh 1 − 1 a 2 x 2 + x 2 6 a 1 − 1 a 2 x 2 + C {\displaystyle \int x^{2}\operatorname {arccsc}(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arccsc}(a\,x)}{3}}\,+\,{\frac {1}{6\,a^{3}}}\,\operatorname {arctanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}\,+\,{\frac {x^{2}}{6\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}\,+\,C}
∫ x m arccsc ⁡ ( a x ) d x = x m + 1 arccsc ⁡ ( a x ) m + 1 + 1 a ( m + 1 ) ∫ x m − 1 1 − 1 a 2 x 2 d x ( m ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{m}\operatorname {arccsc}(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arccsc}(a\,x)}{m+1}}\,+\,{\frac {1}{a\,(m+1)}}\int {\frac {x^{m-1}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}}\,dx\quad (m\neq -1)}

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «List of integrals of inverse trigonometric functions». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱ سپتامبر ۲۰۱۱.

آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.