حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 10 دقیقه
لینک کوتاه

فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی

در ادامه فهرستی از انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی نوشته شده‌است. برای آگاهی بیشتر صفحهٔ فهرست انتگرال‌ها را نگاه کنید.

در تمامی رابطه‌ها فرض می‌شود که a ناصفر و C ثابت انتگرال‌گیری است. همچنین یادآوری می‌شود که برای هریک از انتگرال‌های وارون هذلولوی، که در زیر نوشته شده‌اند، در مقابل، یک رابطه نیز در فهرست انتگرال تابع‌های وارون مثلثاتی وجود دارد.

فهرست

  • ۱ انتگرال تابع‌های وارون سینوس هیپربولیک
  • ۲ انتگرال تابع‌های وارون کسینوس هیپربولیک
  • ۳ انتگرال تابع‌های وارون تانژانت هیپربولیک
  • ۴ انتگرال تابع‌های وارون کتانژانت هیپربولیک
  • ۵ انتگرال تابع‌های وارون سکانت هیپربولیک
  • ۶ انتگرال تابع‌های وارون کسکانت هیپربولیک
  • ۷ منابع

انتگرال تابع‌های وارون سینوس هیپربولیک

∫ arsinh ⁡ ( a x ) d x = x arsinh ⁡ ( a x ) − a 2 x 2 + 1 a + C {\displaystyle \int \operatorname {arsinh} (a\,x)\,dx=x\,\operatorname {arsinh} (a\,x)-{\frac {\sqrt {a^{2}\,x^{2}+1}}{a}}+C}
∫ x arsinh ⁡ ( a x ) d x = x 2 arsinh ⁡ ( a x ) 2 + arsinh ⁡ ( a x ) 4 a 2 − x a 2 x 2 + 1 4 a + C {\displaystyle \int x\,\operatorname {arsinh} (a\,x)dx={\frac {x^{2}\,\operatorname {arsinh} (a\,x)}{2}}+{\frac {\operatorname {arsinh} (a\,x)}{4\,a^{2}}}-{\frac {x{\sqrt {a^{2}\,x^{2}+1}}}{4\,a}}+C}
∫ x 2 arsinh ⁡ ( a x ) d x = x 3 arsinh ⁡ ( a x ) 3 − ( a 2 x 2 − 2 ) a 2 x 2 + 1 9 a 3 + C {\displaystyle \int x^{2}\,\operatorname {arsinh} (a\,x)dx={\frac {x^{3}\,\operatorname {arsinh} (a\,x)}{3}}-{\frac {\left(a^{2}\,x^{2}-2\right){\sqrt {a^{2}\,x^{2}+1}}}{9\,a^{3}}}+C}
∫ x m arsinh ⁡ ( a x ) d x = x m + 1 arsinh ⁡ ( a x ) m + 1 − a m + 1 ∫ x m + 1 a 2 x 2 + 1 d x ( m ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{m}\,\operatorname {arsinh} (a\,x)dx={\frac {x^{m+1}\,\operatorname {arsinh} (a\,x)}{m+1}}\,-\,{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{\sqrt {a^{2}\,x^{2}+1}}}\,dx\quad (m\neq -1)}
∫ arsinh ⁡ ( a x ) 2 d x = 2 x + x arsinh ⁡ ( a x ) 2 − 2 a 2 x 2 + 1 arsinh ⁡ ( a x ) a + C {\displaystyle \int \operatorname {arsinh} (a\,x)^{2}\,dx=2\,x+x\,\operatorname {arsinh} (a\,x)^{2}-{\frac {2\,{\sqrt {a^{2}\,x^{2}+1}}\,\operatorname {arsinh} (a\,x)}{a}}+C}
∫ arsinh ⁡ ( a x ) n d x = x arsinh ⁡ ( a x ) n − n a 2 x 2 + 1 arsinh ⁡ ( a x ) n − 1 a + n ( n − 1 ) ∫ arsinh ⁡ ( a x ) n − 2 d x {\displaystyle \int \operatorname {arsinh} (a\,x)^{n}\,dx=x\,\operatorname {arsinh} (a\,x)^{n}\,-\,{\frac {n\,{\sqrt {a^{2}\,x^{2}+1}}\,\operatorname {arsinh} (a\,x)^{n-1}}{a}}\,+\,n\,(n-1)\int \operatorname {arsinh} (a\,x)^{n-2}\,dx}
∫ arsinh ⁡ ( a x ) n d x = − x arsinh ⁡ ( a x ) n + 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) + a 2 x 2 + 1 arsinh ⁡ ( a x ) n + 1 a ( n + 1 ) + 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ∫ arsinh ⁡ ( a x ) n + 2 d x ( n ≠ − 1 , − 2 ) {\displaystyle \int \operatorname {arsinh} (a\,x)^{n}\,dx=-{\frac {x\,\operatorname {arsinh} (a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}}\,+\,{\frac {{\sqrt {a^{2}\,x^{2}+1}}\,\operatorname {arsinh} (a\,x)^{n+1}}{a(n+1)}}\,+\,{\frac {1}{(n+1)\,(n+2)}}\int \operatorname {arsinh} (a\,x)^{n+2}\,dx\quad (n\neq -1,-2)}

انتگرال تابع‌های وارون کسینوس هیپربولیک

∫ arcosh ⁡ ( a x ) d x = x arcosh ⁡ ( a x ) − a x + 1 a x − 1 a + C {\displaystyle \int \operatorname {arcosh} (a\,x)\,dx=x\,\operatorname {arcosh} (a\,x)-{\frac {{\sqrt {a\,x+1}}\,{\sqrt {a\,x-1}}}{a}}+C}
∫ x arcosh ⁡ ( a x ) d x = x 2 arcosh ⁡ ( a x ) 2 − arcosh ⁡ ( a x ) 4 a 2 − x a x + 1 a x − 1 4 a + C {\displaystyle \int x\,\operatorname {arcosh} (a\,x)dx={\frac {x^{2}\,\operatorname {arcosh} (a\,x)}{2}}-{\frac {\operatorname {arcosh} (a\,x)}{4\,a^{2}}}-{\frac {x\,{\sqrt {a\,x+1}}\,{\sqrt {a\,x-1}}}{4\,a}}+C}
∫ x 2 arcosh ⁡ ( a x ) d x = x 3 arcosh ⁡ ( a x ) 3 − ( a 2 x 2 + 2 ) a x + 1 a x − 1 9 a 3 + C {\displaystyle \int x^{2}\,\operatorname {arcosh} (a\,x)dx={\frac {x^{3}\,\operatorname {arcosh} (a\,x)}{3}}-{\frac {\left(a^{2}\,x^{2}+2\right){\sqrt {a\,x+1}}\,{\sqrt {a\,x-1}}}{9\,a^{3}}}+C}
∫ x m arcosh ⁡ ( a x ) d x = x m + 1 arcosh ⁡ ( a x ) m + 1 − a m + 1 ∫ x m + 1 a x + 1 a x − 1 d x ( m ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{m}\,\operatorname {arcosh} (a\,x)dx={\frac {x^{m+1}\,\operatorname {arcosh} (a\,x)}{m+1}}\,-\,{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{{\sqrt {a\,x+1}}\,{\sqrt {a\,x-1}}}}\,dx\quad (m\neq -1)}
∫ arcosh ⁡ ( a x ) 2 d x = 2 x + x arcosh ⁡ ( a x ) 2 − 2 a x + 1 a x − 1 arcosh ⁡ ( a x ) a + C {\displaystyle \int \operatorname {arcosh} (a\,x)^{2}\,dx=2\,x+x\,\operatorname {arcosh} (a\,x)^{2}-{\frac {2\,{\sqrt {a\,x+1}}\,{\sqrt {a\,x-1}}\,\operatorname {arcosh} (a\,x)}{a}}+C}
∫ arcosh ⁡ ( a x ) n d x = x arcosh ⁡ ( a x ) n − n a x + 1 a x − 1 arcosh ⁡ ( a x ) n − 1 a + n ( n − 1 ) ∫ arcosh ⁡ ( a x ) n − 2 d x {\displaystyle \int \operatorname {arcosh} (a\,x)^{n}\,dx=x\,\operatorname {arcosh} (a\,x)^{n}\,-\,{\frac {n\,{\sqrt {a\,x+1}}\,{\sqrt {a\,x-1}}\,\operatorname {arcosh} (a\,x)^{n-1}}{a}}\,+\,n\,(n-1)\int \operatorname {arcosh} (a\,x)^{n-2}\,dx}
∫ arcosh ⁡ ( a x ) n d x = − x arcosh ⁡ ( a x ) n + 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) + a x + 1 a x − 1 arcosh ⁡ ( a x ) n + 1 a ( n + 1 ) + 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ∫ arcosh ⁡ ( a x ) n + 2 d x ( n ≠ − 1 , − 2 ) {\displaystyle \int \operatorname {arcosh} (a\,x)^{n}\,dx=-{\frac {x\,\operatorname {arcosh} (a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}}\,+\,{\frac {{\sqrt {a\,x+1}}\,{\sqrt {a\,x-1}}\,\operatorname {arcosh} (a\,x)^{n+1}}{a\,(n+1)}}\,+\,{\frac {1}{(n+1)\,(n+2)}}\int \operatorname {arcosh} (a\,x)^{n+2}\,dx\quad (n\neq -1,-2)}

انتگرال تابع‌های وارون تانژانت هیپربولیک

∫ artanh ⁡ ( a x ) d x = x artanh ⁡ ( a x ) + ln ⁡ ( a 2 x 2 − 1 ) 2 a + C {\displaystyle \int \operatorname {artanh} (a\,x)\,dx=x\,\operatorname {artanh} (a\,x)+{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}-1\right)}{2\,a}}+C}
∫ x artanh ⁡ ( a x ) d x = x 2 artanh ⁡ ( a x ) 2 − artanh ⁡ ( a x ) 2 a 2 + x 2 a + C {\displaystyle \int x\,\operatorname {artanh} (a\,x)dx={\frac {x^{2}\,\operatorname {artanh} (a\,x)}{2}}-{\frac {\operatorname {artanh} (a\,x)}{2\,a^{2}}}+{\frac {x}{2\,a}}+C}
∫ x 2 artanh ⁡ ( a x ) d x = x 3 artanh ⁡ ( a x ) 3 + ln ⁡ ( a 2 x 2 − 1 ) 6 a 3 + x 2 6 a + C {\displaystyle \int x^{2}\,\operatorname {artanh} (a\,x)dx={\frac {x^{3}\,\operatorname {artanh} (a\,x)}{3}}+{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}-1\right)}{6\,a^{3}}}+{\frac {x^{2}}{6\,a}}+C}
∫ x m artanh ⁡ ( a x ) d x = x m + 1 artanh ⁡ ( a x ) m + 1 + a m + 1 ∫ x m + 1 a 2 x 2 − 1 d x ( m ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{m}\,\operatorname {artanh} (a\,x)dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {artanh} (a\,x)}{m+1}}+{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{a^{2}\,x^{2}-1}}\,dx\quad (m\neq -1)}

انتگرال تابع‌های وارون کتانژانت هیپربولیک

∫ arcoth ⁡ ( a x ) d x = x arcoth ⁡ ( a x ) + ln ⁡ ( a 2 x 2 − 1 ) 2 a + C {\displaystyle \int \operatorname {arcoth} (a\,x)\,dx=x\,\operatorname {arcoth} (a\,x)+{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}-1\right)}{2\,a}}+C}
∫ x arcoth ⁡ ( a x ) d x = x 2 arcoth ⁡ ( a x ) 2 − arcoth ⁡ ( a x ) 2 a 2 + x 2 a + C {\displaystyle \int x\,\operatorname {arcoth} (a\,x)dx={\frac {x^{2}\,\operatorname {arcoth} (a\,x)}{2}}-{\frac {\operatorname {arcoth} (a\,x)}{2\,a^{2}}}+{\frac {x}{2\,a}}+C}
∫ x 2 arcoth ⁡ ( a x ) d x = x 3 arcoth ⁡ ( a x ) 3 + ln ⁡ ( a 2 x 2 − 1 ) 6 a 3 + x 2 6 a + C {\displaystyle \int x^{2}\,\operatorname {arcoth} (a\,x)dx={\frac {x^{3}\,\operatorname {arcoth} (a\,x)}{3}}+{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}-1\right)}{6\,a^{3}}}+{\frac {x^{2}}{6\,a}}+C}
∫ x m arcoth ⁡ ( a x ) d x = x m + 1 arcoth ⁡ ( a x ) m + 1 + a m + 1 ∫ x m + 1 a 2 x 2 − 1 d x ( m ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{m}\,\operatorname {arcoth} (a\,x)dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arcoth} (a\,x)}{m+1}}+{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{a^{2}\,x^{2}-1}}\,dx\quad (m\neq -1)}

انتگرال تابع‌های وارون سکانت هیپربولیک

∫ arsech ⁡ ( a x ) d x = x arsech ⁡ ( a x ) − 2 a arctan ⁡ 1 − a x 1 + a x + C {\displaystyle \int \operatorname {arsech} (a\,x)\,dx=x\,\operatorname {arsech} (a\,x)-{\frac {2}{a}}\,\operatorname {arctan} {\sqrt {\frac {1-a\,x}{1+a\,x}}}+C}
∫ x arsech ⁡ ( a x ) d x = x 2 arsech ⁡ ( a x ) 2 − ( 1 + a x ) 2 a 2 1 − a x 1 + a x + C {\displaystyle \int x\,\operatorname {arsech} (a\,x)dx={\frac {x^{2}\,\operatorname {arsech} (a\,x)}{2}}-{\frac {(1+a\,x)}{2\,a^{2}}}{\sqrt {\frac {1-a\,x}{1+a\,x}}}+C}
∫ x 2 arsech ⁡ ( a x ) d x = x 3 arsech ⁡ ( a x ) 3 − 1 3 a 3 arctan ⁡ 1 − a x 1 + a x − x ( 1 + a x ) 6 a 2 1 − a x 1 + a x + C {\displaystyle \int x^{2}\,\operatorname {arsech} (a\,x)dx={\frac {x^{3}\,\operatorname {arsech} (a\,x)}{3}}\,-\,{\frac {1}{3\,a^{3}}}\,\operatorname {arctan} {\sqrt {\frac {1-a\,x}{1+a\,x}}}\,-\,{\frac {x(1+a\,x)}{6\,a^{2}}}{\sqrt {\frac {1-a\,x}{1+a\,x}}}\,+\,C}
∫ x m arsech ⁡ ( a x ) d x = x m + 1 arsech ⁡ ( a x ) m + 1 + 1 m + 1 ∫ x m ( 1 + a x ) 1 − a x 1 + a x d x ( m ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{m}\,\operatorname {arsech} (a\,x)dx={\frac {x^{m+1}\,\operatorname {arsech} (a\,x)}{m+1}}\,+\,{\frac {1}{m+1}}\int {\frac {x^{m}}{(1+a\,x){\sqrt {\frac {1-a\,x}{1+a\,x}}}}}\,dx\quad (m\neq -1)}

انتگرال تابع‌های وارون کسکانت هیپربولیک

∫ arcsch ⁡ ( a x ) d x = x arcsch ⁡ ( a x ) + 1 a artanh ⁡ 1 a 2 x 2 + 1 + C {\displaystyle \int \operatorname {arcsch} (a\,x)\,dx=x\,\operatorname {arcsch} (a\,x)+{\frac {1}{a}}\,\operatorname {artanh} {\sqrt {{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}+1}}+C}
∫ x arcsch ⁡ ( a x ) d x = x 2 arcsch ⁡ ( a x ) 2 + x 2 a 1 a 2 x 2 + 1 + C {\displaystyle \int x\,\operatorname {arcsch} (a\,x)dx={\frac {x^{2}\,\operatorname {arcsch} (a\,x)}{2}}+{\frac {x}{2\,a}}{\sqrt {{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}+1}}+C}
∫ x 2 arcsch ⁡ ( a x ) d x = x 3 arcsch ⁡ ( a x ) 3 − 1 6 a 3 artanh ⁡ 1 a 2 x 2 + 1 + x 2 6 a 1 a 2 x 2 + 1 + C {\displaystyle \int x^{2}\,\operatorname {arcsch} (a\,x)dx={\frac {x^{3}\,\operatorname {arcsch} (a\,x)}{3}}\,-\,{\frac {1}{6\,a^{3}}}\,\operatorname {artanh} {\sqrt {{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}+1}}\,+\,{\frac {x^{2}}{6\,a}}{\sqrt {{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}+1}}\,+\,C}
∫ x m arcsch ⁡ ( a x ) d x = x m + 1 arcsch ⁡ ( a x ) m + 1 + 1 a ( m + 1 ) ∫ x m − 1 1 a 2 x 2 + 1 d x ( m ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{m}\,\operatorname {arcsch} (a\,x)dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arcsch} (a\,x)}{m+1}}\,+\,{\frac {1}{a(m+1)}}\int {\frac {x^{m-1}}{\sqrt {{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}+1}}}\,dx\quad (m\neq -1)}

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «List of integrals of inverse hyperbolic functions». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۳۱ اوت ۲۰۱۱.

آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.