فضای سوبولف

در ریاضیات، فضای سوبولف (به انگلیسی: Sobolev Space)، فضایی برداری از توابع است و مجهز به نرم می‌باشد. نرم این فضا، مرکب از $L^{p}$

-نرم‌های توابع به همراه مشتقاتشان تا مرتبه‌ای دلخواه می‌باشد. این مشتقات از نوع ضعیف اند تا بدین طریق فضا را کامل کنند، یعنی آن را تبدیل به فضای باناخ نمایند. فضای سوبولف به‌طور شهودی، فضایی از توابع است که برای کاربردهای خاص، به میزان کافی مشتقاتی همچون معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی داشته و مجهز به نرمی باشد که هم بزرگی و هم منظم بودن یک تابع را مورد سنجش قرار دهد.

فضاهای سوبولف به نام ریاضی‌دان روس، سرگئی سوبولف نامگذاری شده‌است. اهمیت این فضاها از این حقیقت نشأت می‌گیرد که جواب‌های ضعیف برخی از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در فضای سوبولفِ مناسب برای آن معادلات وجود دارد، حتی اگر آن معادلات هیچ جواب قوی در فضای توابع پیوسته با مشتقات کلاسیک عادی نداشته باشند.

منابع

Adams, Robert A.; Fournier, John (2003) [1975]. Sobolev Spaces. Pure and Applied Mathematics. Vol. 140 (2nd ed.). Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-044143-3..
Aubin, Thierry (1982), Nonlinear analysis on manifolds. Monge-Ampère equations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 252, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5734-9, ISBN 978-0-387-90704-8, MR 0681859.
Bergh, Jöran; Löfström, Jörgen (1976), Interpolation Spaces, An Introduction, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 223, Springer-Verlag, pp. X + 207, ISBN 978-7-5062-6011-4, MR 0482275, Zbl 0344.46071
Evans, Lawrence C. (2010) [1998]. Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 19 (2nd ed.). American Mathematical Society. p. 749. ISBN 978-0-8218-4974-3.
Leoni, Giovanni (2009). A First Course in Sobolev Spaces. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 105. American Mathematical Society. pp. xvi+607. ISBN 978-0-8218-4768-8. MR 2527916. Zbl 1180.46001.
Maz'ja, Vladimir G. (1985), Sobolev Spaces, Springer Series in Soviet Mathematics, Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag, pp. xix+486, doi:10.1007/978-3-662-09922-3, ISBN 0-387-13589-8, MR 0817985, Zbl 0692.46023
Maz'ya, Vladimir G.; Poborchi, Sergei V. (1997), Differentiable Functions on Bad Domains, Singapore–New Jersey–London–Hong Kong: World Scientific, pp. xx+481, ISBN 981-02-2767-1, MR 1643072, Zbl 0918.46033.
Maz'ya, Vladimir G. (2011) [1985], Sobolev Spaces. With Applications to Elliptic Partial Differential Equations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 342 (2nd revised and augmented ed.), Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag, pp. xxviii+866, doi:10.1007/978-3-642-15564-2, ISBN 978-3-642-15563-5, MR 2777530, Zbl 1217.46002.
Lunardi, Alessandra (1995), Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems, Basel: Birkhäuser Verlag.
Nikodym, Otto (1933), "Sur une classe de fonctions considérée dans l'étude du problème de Dirichlet", Fund. Math., 21: 129–150, doi:10.4064/fm-21-1-129-150.
Nikol'skii, S.M. (2001) [1994], "Imbedding theorems", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
Nikol'skii, S.M. (2001) [1994], "Sobolev space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
Sobolev, S.L. (1963), "On a theorem of functional analysis", Transl. Amer. Math. Soc., American Mathematical Society Translations: Series 2, 34 (2): 39–68, doi:10.1090/trans2/034/02, ISBN 978-0-8218-1734-6; translation of Mat. Sb. , 4 (1938) pp. 471–497.
Sobolev, S.L. (1963), Some applications of functional analysis in mathematical physics, Amer. Math. Soc..
Stein, E (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton Univ. Press, ISBN 0-691-08079-8.
Triebel, H. (1995), Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators, Heidelberg: Johann Ambrosius Barth.
Ziemer, William P. (1989), Weakly differentiable functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 120, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1015-3, hdl:10338.dmlcz/143849, ISBN 978-0-387-97017-2, MR 1014685.