جواب ضعیف

به عنوان مثالی از این مفهوم، معادله مرتبه اول معادله موج را در نظر بگیرید:

که در آن نماد مشتق جزئی به کار رفته‌است و u تابع دو متغیر حقیقی است. فرض کنیم که u به طور پیوسته مشتق پذیر در فضای اقلیدسی Rاست. با ضرب معادله (۱) در تابع هموار ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\partial }u(t,x)}{\mathrm{\partial }t}\phi (t,x)\mathrm{d}t\mathrm{d}x+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\partial }u(t,x)}{\mathrm{\partial }x}\phi (t,x)\mathrm{d}t\mathrm{d}x=0.}$

استفاده از قضیه فوبینی جهت تغییر ترتیب انتگرال‌ها و همچنین انتگرال‌گیری جزء به جزء (در t برای جمله اول و در x برای جمله دوم) این معادله به صورت زیر می‌شود:

${\displaystyle -{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(t,x)\frac{\mathrm{\partial }\phi (t,x)}{\mathrm{\partial }t}\mathrm{d}t\mathrm{d}x-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(t,x)\frac{\mathrm{\partial }\phi (t,x)}{\mathrm{\partial }x}\mathrm{d}t\mathrm{d}x=0.(2)}$

(توجه کنید که هرچند که انتگرال‌ها از −∞ تا ∞ هستند اما انتگرال‌ها اساساً روی یک ناحیه محدود هستند زیرا ${\displaystyle \phi }$

نشان دادیم معادله (۱)، معادله (۲) را نتیجه می‌دهد مادامی که u به‌طور پیوسته مشتق پذیر است. نکته کلیدی در مفهوم جواب ضعیف این توابع u وجود دارند که در معادله (۲) صدق می‌کنند و مشتق پذیر نیستند و بنابراین در معادله (۱) صدق نمی‌کنند. یک مثال ساده از چنین تابعی |u(t, x) = |t − x است. به راحتی با انتگرال گیری جزء به جزء به‌طور مجزا روی ناحیه بالا و پایین خط x=t، می‌توان بررسی کرد که این تابع در معادله (۲) صدق می‌کند. یک جواب u از معادله (۲) یک جواب ضعیف از معادله (۱) نامیده می‌شود.

مفهوم جواب ضعیف بر اساس توزیع، گاهی اوقات نامناسب است. در مورد سیستم‌های هذلولوی، مفهوم جواب ضعیف مبتنی بر توزیع یکتایی جواب را تضمین نمی‌کندو لازم است آن را با شرایط آنتروپی یا برخی معیارهای دیگر مجهز کرد. در PDE کاملاً غیر خطی، مانند معادله همیلتون–ژاکوبی وجود دارد یک تعریف کاملاً متفاوت از جواب ضعیف ارائه می‌شود که به نام جواب ویسکوزیته موسوم است.

• ایوانس، ال سی، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، انجمن ریاضی آمریکا
• ترجمه از ویکی‌پدیای انگلیسی