فضای احتمال

فضای احتمال یک سه‌گانه‌ی ریاضی ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

• فضای نمونه‌ی ${\displaystyle \Omega }$
  مجموعه‌ای از تمام نتایج ممکن است. یک نتیجه، حاصل اجرای یک‌بار مدل می‌باشد. نتایج ممکن است حالت‌های طبیعی، احتمالات، نتایج تجربی و موارد مشابه باشند. هر نمونه از وضعیّت دنیای واقعی (یا اجرای آزمایش) باید دقیقاً یک نتیجه ایجاد کند. اگر نتایج اجراهای متفاوت آزمایش در مواردی که مهم است، متفاوت باشد، آنگاه آن آزکایش‌ها نتایج متمایز هستند. اینکه کدام موارد مهم هستند به نوع تحلیلی که می‌خواهیم انجام دهیم بستگی دارد. این منجر به انتخاب‌های متفاوت از فضای نمونه می‌شود.
• جبر سیگمای ${\textstyle {\mathcal {F}}}$
  مجموعه‌ای از تمام پیشامدهایی است که می‌خواهیم در نظر بگیریم. این مجموعه ممکن است شامل هر یک از رویدادهای ابتدایی باشد یا باشد. در اینجا، یک «رویداد» مجموعه‌ای از صفر نتيجه یا تعداد نتایج بیشتر است. یعنی یک «رویداد» زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه است. در طول یک آزمایش زمانی یک رویداد «اتفاق افتاده» است که نتیجه‌ی آزمایش یکی از عناصر آن رویداد باشد. یک نتیجه ممکن است عضو تعداد زیادی از رویدادها باشد، پس این امکان وجود دارد که با یک نتیجه یکسان، چند رویداد اتّفاق افتاده باشد. به عنوان مثال، وقتی آزمایش شامل پرتاب دو تاس است، مجموعه‌ی تمام نتایج با مجموع ۷ می‌تواند یک رویداد را تشکیل دهد و همین‌طور نتایج با مجموع فرد نیز می‌تواند رویداد دیگری باشد. اگر نتیجه، عدد ۲ به روی تاس اوّل و عدد ۵ به روی تاس دوم باشد، گفته می‌شود که هر دو رویداد «مجموع ۷» و «مجموع فرد» اتّفاق افتاده‌است.
• اندازه‌گیری احتمال ${\displaystyle P}$
  یک تابع است که احتمال یک رویداد را برمی‌گرداند. احتمال یک رویداد عددی حقیقی بین صفر (رویدادهای غیرممکن احتمال صفر دارند، اگرچه رویدادهای با احتمال صفر لزوماً غیر ممکن نیستند.) و یک (رویدادهایی که قریب به یقین اتفاق می‌افتند، تقریباً با اطمینان کامل) است. بدین ترتیب ${\displaystyle P}$
  یک تابع است به طوری که ${\displaystyle P:{\mathcal {F}}\to [0,1]}$
  . تابع اندازه‌گیری احتمال باید دو شرط ساده را برآورده کند: اول آنکه احتمال یک مجموعه‌ی شمارا از رویدادهای دو به دو مجزّا باید برابر با مجموع قابل شمارش احتمال هر یک از آن رویدادها باشد. به عنوان مثال، احتمال مجموعه‌ی مجزّای وقایع ${\displaystyle {\text{Head}}}$
  و ${\displaystyle {\text{Tail}}}$
  در آزمایش تصادفی پرتاب یک سکّه، ${\displaystyle P({\text{Head}}\cup {\text{Tail}})}$
  ، برابر با مجموع احتمال برای ${\displaystyle {\text{Head}}}$
  و احتمال برای ${\displaystyle {\text{Tail}}}$
  می‌باشد، ${\displaystyle P({\text{Head}})+P({\text{Tail}})}$
  . دوم آنکه احتمال فضای نمونه‌ی ${\displaystyle \Omega }$
  باید برابر با ۱ باشد (که نشان‌دهنده‌ی آن است به هنگام اجرای مدل، برخی از نتایج باید رخ بدهد.). در مثال قبلی احتمال مجموعه‌ای از نتایج ${\displaystyle P(\{{\text{Head}},{\text{Tail}}\})}$
  باید برابر با یک باشد، زیرا کاملاً مسلّم است که در یک پرتاب سکّه، نتیجه یا ${\displaystyle {\text{Head}}}$
  خواهد بود یا ${\displaystyle {\text{Tail}}}$
  (این مدل از هر امکان دیگری صرف نظر می‌کند).

هر زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه‌ی ${\displaystyle \Omega }$

به طور خلاصه، فضای احتمال، فضای اندازه‌گیری است به طوری که اندازه‌ی آن برابر با یک می‌باشد.

1. ↑ Loève, Michel. Probability Theory, Vol 1. New York: D. Van Nostrand Company, 1955.
2. ↑ Stroock, D. W. (1999). Probability theory: an analytic view. Cambridge University Press.