اصول احتمال

گزاره: اگر ${\displaystyle A\subseteq B}$

اثبات: چون ${\displaystyle A\subseteq B}$

${\displaystyle P(B)=P(A)+P(A^{\prime }\cap B)}$

و بنا بر اصل 1 چون ${\displaystyle P(A^{\prime }\cap B)\ge 0}$

گزاره: اگر ${\displaystyle F}$

${\displaystyle P(\mathrm{\varnothing })=0}$

اثبات: می دانیم ${\displaystyle F\cup \mathrm{\varnothing }=F}$

${\displaystyle P(F\cup \mathrm{\varnothing })=P(F)+P(\mathrm{\varnothing })=1\Rightarrow P(\mathrm{\varnothing })=0}$

گزاره: اگر ${\displaystyle A}$

${\displaystyle 0\le P(A)\le 1}$

اثبات:

${\displaystyle \mathrm{\varnothing }\subseteq A\subseteq F\Rightarrow P(\mathrm{\varnothing })\le P(A)\le P(F)\Rightarrow 0\le P(A)\le 1}$

گزاره:اگر ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P(A^{\prime })=1-P(A)}$

اثبات:

${\displaystyle A\cup A^{\prime }=F\Rightarrow P(A\cup A^{\prime })=P(F)\Rightarrow P(A)+P(A^{\prime })=1\Rightarrow P(A^{\prime })=1-P(A)}$

گزاره: اگر ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$

اثبات:

${\displaystyle (A\cup B)=A\cup (A^{\prime }\cap B)\Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(A^{\prime }\cap B)}$

${\displaystyle B=(A\cap B)\cup (A^{\prime }\cap B)\Rightarrow P(B)=P(A\cap B)+P(A^{\prime }\cap B)\Rightarrow P(A^{\prime }\cap B)=P(B)-P(A\cap B)}$

با استفاده از نتایج به دست آمده در دو سطر بالا داریم

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$

حکم ثابت می شود.

http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Probability_axioms&oldid=518152073}"Wikipedia، The Free Encyclopedia