فرمول انتگرال کوشی

با استفاده از قضیه انتگرال کوشی می‌توان نشان داد که انتگرال بر روی ${\displaystyle C}$

${\displaystyle z=a+\epsilon e^{it}}$

که در آن ${\displaystyle 0\le t\le 2\pi }$

[[پرونده:|thumb|400px|سطح تابع f(z) = z / (z + 2z + 2) و نقاط تکین آن، با کانتورهای شرح داده شده در متن.]] تابع

${\displaystyle f(z)=\frac{z^2}{z^2+2z+2}}$

و مسیر |z| = 2 (آن را C بنامید) را در نظر بگیرید. برای بدست آوردن انتگرال f(z) حول مسیر، نیاز به دانستن نقاط تکین f(z) داریم. می‌توان ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)=\frac{z^2}{(z-z_1)(z-z_2)},\text{where}{z}_1=-1+i,z_2=-1-i.}$

و قطب‌ها آشکار می‌شوند. قدر مطلق آنها کمتر از ۲ است و بنابراین درون مسیر قرار دارند و می‌توان فرمول را بر آنها اعمال کرد. با استفاده از قضیهٔ کوشی-گورسا می‌توان انتگرال حول مسیر را به صورت مجموع انتگال‌هایی حول z₁ و z₂ بیان کرد که مسیر، یک دایرهٔ کوچک حول هر قطب است. این مسیرها را C₁ حول z₁ و C₂ حول z₂ بنامید. اکنون ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)=\frac{z^2}{z-z_2}}$

و حالا

${\displaystyle {\oint }_{C_1}\frac{\left(\frac{z^2}{z-z_2}\right)}{z-z_1}dz=2\pi i\frac{z_1^2}{z_1-z_2}.}$

با انجام عمل مشابه بر روی مسیر دیگر

${\displaystyle f(z)=\frac{z^2}{z-z_1},}$

${\displaystyle {\oint }_{C_2}\frac{\left(\frac{z^2}{z-z_1}\right)}{z-z_2}dz=2\pi i\frac{z_2^2}{z_2-z_1}.}$

و انتگرال حول مسیر اصلی، C، مجموع این دو انتگرال است:

• en:Cauchy-Riemann equations
• en:Methods of contour integration
• en:Nachbin's theorem
• en:Morera's theorem