حساب کاربری
​
تغیر مسیر یافته از - عمل سطری مقدماتی
زمان تقریبی مطالعه: 4 دقیقه
لینک کوتاه

ماتریس مقدماتی

۳ عمل ساده روی سطرهای ماتریس شامل جمع و ضرب اسکالر و جابجایی

در ریاضیات، اعمال سطری مقدماتی ۳ عمل ساده روی یک ماتریس است که در ادامه به آنها می‌پردازیم.

یک ماتریس مقدماتی مثل E {\displaystyle E}

ماتریسی است که ضرب چپ آن در یک ماتریس ( E A {\displaystyle EA}
) همان کاری را روی آن انجام دهد که یک عمل سطری مقدماتی انجام می‌دهد. می‌توان نتیجه گرفت که ضرب راست A E {\displaystyle AE}
یک عمل ستونی مقدماتی مشابه روی A {\displaystyle A}
انجام می‌دهد. ماتریس مقدماتی با اعمال تنها یک عمل سطری مقدماتی روی ماتریس همانی به دست می‌آید.

اگر با اعمال چند عمل سطری مقدماتی بتوان از یک ماتریس A {\displaystyle A}

به ماتریس B {\displaystyle B}
رسید آن دو ماتریس را هم‌ارز سطری می‌نامیم و با نماد هم‌ارزی A ∼ B {\displaystyle A\sim B}
نمایش می‌دهیم. اعمال سطری مقدماتی در حذف گاوسی و موارد مشابه کاربرد دارد.

فهرست

  • ۱ اعمال سطری مقدماتی
    • ۱.۱ مبادله
    • ۱.۲ ضرب اسکالر
    • ۱.۳ جمع
  • ۲ جستارهای وابسته
  • ۳ منابع

اعمال سطری مقدماتی

مبادله

این عمل تمام درایه‌های دو سطر ماتریس را (نظیر به نظیر) با یکدیگر جابه‌جا می‌کند. این عملیات را می‌توان با نماد R i ↔ R j {\displaystyle R_{i}\leftrightarrow R_{j}}

نشان داد.

مثال: با جابه‌جا کردن سطر ۲ و ۳ در ماتریس A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}}

ماتریس T 2 , 3 A = [ 1 2 3 7 8 9 4 5 6 ] {\displaystyle T_{2,3}A={\begin{bmatrix}1&2&3\\7&8&9\\4&5&6\end{bmatrix}}}
به دست می‌آید.

ماتریس مقدماتی متناظر با این عمل T i , j = [ 1 ⋱ 1 0 1 ⋱ 1 0 1 ⋱ 1 ] {\displaystyle T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&0&&1&&\\&&&&\ddots &&&\\&&&1&&0&&\\&&&&&&1&&\\&&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&&1\end{bmatrix}}}

با جابه‌جا کردن سطر i , j {\displaystyle i,j}
در I {\displaystyle I}
به دست می‌آید.

  • T i , j − 1 = T i , j {\displaystyle T_{i,j}^{-1}=T_{i,j}}
  • دترمینان | T i , j | = − 1 {\displaystyle |T_{i,j}|=-1}
    است. در نتیجه | T i , j A | = | A T i , j | = − | A | {\displaystyle |T_{i,j}A|=|AT_{i,j}|=-|A|}
    . یعنی با جابه‌جا کردن سطرها یا ستون‌‌های یک ماتریس دترمینان آن منفی می‌شود.

ضرب اسکالر

با این عمل می‌توان درایه‌های یک سطر ماتریس را در یک ثابت اسکالر ناصفر ضرب کرد. این عملیات را می‌توان با نماد R i ← k R i {\displaystyle R_{i}\leftarrow kR_{i}}

نشان داد.

مثال: با ضرب ۳ در سطر دوم ماتریس A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}}

ماتریس D 2 , 3 A = [ 1 2 3 12 15 18 7 8 9 ] {\displaystyle D_{2,3}A={\begin{bmatrix}1&2&3\\12&15&18\\7&8&9\end{bmatrix}}}
به دست می‌آید.

ماتریس مقدماتی متناظر با این عمل D i , c = [ 1 ⋱ 1 c 1 ⋱ 1 ] {\displaystyle D_{i,c}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&c&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}

با ضرب c {\displaystyle c}
در سطر i {\displaystyle i}
-ام I {\displaystyle I}
به دست می‌آید.

  • D i , c − 1 = D i , 1 c {\displaystyle D_{i,c}^{-1}=D_{i,{1 \over c}}}
  • این ماتریس و وارونش قطری است.
  • دترمینان | D i , c | = c {\displaystyle |D_{i,c}|=c}
    است. در نتیجه | D i , c A | = | A D i , c | = c | A | {\displaystyle |D_{i,c}A|=|AD_{i,c}|=c|A|}
    . یعنی با ضرب c {\displaystyle c}
    در یک سطر یا ستون یک ماتریس دترمینان آن نیز در c {\displaystyle c}
    ضرب می‌شود.

جمع

در این عمل مضربی از یک سطر را به یک سطر دیگر اضافه می‌کنیم. این عملیات را می‌توان با نماد R i ← R i + k R j {\displaystyle R_{i}\leftarrow R_{i}+kR_{j}}

نشان داد.

مثال: ۲-برابر سطر یکم ماتریس A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}}

را به سطر دوم آن اضافه می‌کنیم: L 2 , 1 , − 2 A = [ 1 2 3 2 1 0 7 8 9 ] {\displaystyle L_{2,1,-2}A={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&1&0\\7&8&9\end{bmatrix}}}

ماتریس مقدماتی متناظر با این عمل L i , j , c = [ 1 ⋱ 1 ⋱ c 1 ⋱ 1 ] {\displaystyle L_{i,j,c}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&c&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}

با اضافه کردن c {\displaystyle c}
-برابر در سطر j {\displaystyle j}
-ام به سطر i {\displaystyle i}
-ام I {\displaystyle I}
به دست می‌آید.

  • L i , j , c − 1 = − L i , j , c {\displaystyle L_{i,j,c}^{-1}=-L_{i,j,c}}
  • این ماتریس و وارونش مثلثی هستند.
  • دترمینان | L i , j , c | = 1 {\displaystyle |L_{i,j,c}|=1}
    است. در نتیجه | L i , j , c A | = | A L i , j , c | = − | A | {\displaystyle |L_{i,j,c}A|=|AL_{i,j,c}|=-|A|}
    . یعنی با اضافه کردن مضارب سطری به سطر دیگر یا ستونی به ستون دیگر در یک ماتریس دترمینان آن ثابت می‌ماند.

جستارهای وابسته

  • ماتریس هم‌ارز سطری

منابع

  1. ↑ Linear Algebra and Its Applications. sixth edition جلد. به کوشش David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald.
  • کنت هافمن (۱۳۸۵)، جبر خطی، ترجمهٔ جمشید فرشیدی، مرکز نشر دانشگاهی، ص. ۱۱، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۲۳۰-X
آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.