علامت Q پوکهمر
در ریاضیات و در شاخه ترکیبیات، علامت q_پوکهَمِر، که به آن q_فاکتوریل جابجا شده نیز میگویند، اینگونه تعریف میشود:
و
علامت q_پوکهمر، یک بلوک اصلی در ساخت q_آنالوگ هاست. برای مثال در نظریه سریهای ابرهندسی، نقش اصلی را در نظریه تعمیم یافته آن دارد. بر خلاف علامت پوکهمر ساده، علامت q_پوکهمر قابل تعمیم است به یک ضرب نامتناهی:
این یک تابع تحلیلی از q در فضای داخلی یک دیسک واحد (در صفحه مختلط) است و میتواند به عنوان یک سری توانی ساده در نظر گرفته شود. حالت خاص زیر:
به عنوان تابع اویلر شناخته شده و در شاخههای نظریه اعداد و ترکیبیات و همچنین در نظریهٔ فرمهای مدولار کاربرد دارد.
قضیهها
حاصل ضرب متناهی میتواند به صورت حاصل ضرب نامتناهی بیان شود:
که تعریف را به اعداد منفی n گسترش می دهد،بنابراین برای اعداد نامنفی n داریم:
و
از سوی دیگر داریم:
که برای تابع مولد توابع افرازی مفید است.علامت q_پوکهمر،بخشی از q_سری هاست.به خصوص گسترش سری بی نهایته:
و
که هر دو حالت خاصی از q_بسط دو جمله ای:
فردریک کارپِلِویچ اتحاد زیر را به دست آورد:
منابع
- George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. شابک ۰−۵۲۱−۸۳۳۵۷−۴.
- Roelof Koekoek and Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, section 0.2.
- Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, شابک ۰۸۵۳۱۲۴۹۱۴, شابک ۰۴۷۰۲۷۴۵۳۰, شابک ۹۷۸−۰۴۷۰۲۷۴۵۳۸
- M.A. Olshanetsky and V.B.K. Rogov (1995), The Modified q-Bessel Functions and the q-Bessel-Macdonald Functions, arXiv:q-alg/9509013.
- Ramanujan's Lost Notebook: Part I (Pt. 1) ,(2005) Bruce C. Berndt and George E. Andrews,شابک ۹۷۸−۰۳۸۷۲۵۵۲۹۳,
شابک ۰۳۸۷۲۵۵۲۹X Ramanujan's Lost Notebook: Part II (Pt. 2) ,(2009) Bruce C. Berndt and George E. Andrews,شابک ۹۷۸−۰۳۸۷۷۷۷۶۵۸, شابک ۰۳۸۷۷۷۷۶۵۲ G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 2008,شابک ۹۷۸−۰۱۹۹۲۱۹۸۶۵,شابک ۹۷۸۰۱۹۹۲۱۹۸۶۵.