حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 4 دقیقه
لینک کوتاه

علامت Q پوکهمر

در ریاضیات و در شاخه ترکیبیات، علامت q_پوکهَمِر، که به آن q_فاکتوریل جابجا شده نیز می‌گویند، اینگونه تعریف می‌شود:

( a ; q ) n = ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − a q k ) = ( 1 − a ) ( 1 − a q ) ( 1 − a q 2 ) ⋯ ( 1 − a q n − 1 ) {\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}

و

( a ; q ) 0 = 1 {\displaystyle (a;q)_{0}=1}

علامت q_پوکهمر، یک بلوک اصلی در ساخت q_آنالوگ هاست. برای مثال در نظریه سری‌های ابرهندسی، نقش اصلی را در نظریه تعمیم یافته آن دارد. بر خلاف علامت پوکهمر ساده، علامت q_پوکهمر قابل تعمیم است به یک ضرب نامتناهی:

( a ; q ) ∞ = ∏ k = 0 ∞ ( 1 − a q k ) . {\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).}

این یک تابع تحلیلی از q در فضای داخلی یک دیسک واحد (در صفحه مختلط) است و می‌تواند به عنوان یک سری توانی ساده در نظر گرفته شود. حالت خاص زیر:

ϕ ( q ) = ( q ; q ) ∞ = ∏ k = 1 ∞ ( 1 − q k ) {\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}

به عنوان تابع اویلر شناخته شده و در شاخه‌های نظریه اعداد و ترکیبیات و همچنین در نظریهٔ فرم‌های مدولار کاربرد دارد.

قضیه‌ها

حاصل ضرب متناهی می‌تواند به صورت حاصل ضرب نامتناهی بیان شود:

( a ; q ) n = ( a ; q ) ∞ ( a q n ; q ) ∞ , {\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}

که تعریف را به اعداد منفی n گسترش می دهد،بنابراین برای اعداد نامنفی n داریم:

( a ; q ) − n = 1 ( a q − n ; q ) n = ∏ k = 1 n 1 ( 1 − a / q k ) {\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}}

و

( a ; q ) − n = ( − q / a ) n q n ( n − 1 ) / 2 ( q / a ; q ) n . {\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}

از سوی دیگر داریم:

∏ k = n ∞ ( 1 − a q k ) = ( a q n ; q ) ∞ = ( a ; q ) ∞ ( a ; q ) n , {\displaystyle \prod _{k=n}^{\infty }(1-aq^{k})=(aq^{n};q)_{\infty }={\frac {(a;q)_{\infty }}{(a;q)_{n}}},}

که برای تابع مولد توابع افرازی مفید است.علامت q_پوکهمر،بخشی از q_سری هاست.به خصوص گسترش سری بی نهایته:

( x ; q ) ∞ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n q n ( n − 1 ) / 2 ( q ; q ) n x n {\displaystyle (x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}}

و

1 ( x ; q ) ∞ = ∑ n = 0 ∞ x n ( q ; q ) n {\displaystyle {\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}}}

که هر دو حالت خاصی از q_بسط دو جمله ای:

( a x ; q ) ∞ ( x ; q ) ∞ = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n x n . {\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}

فردریک کارپِلِویچ اتحاد زیر را به دست آورد:

( q ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n q n ( n + 1 ) / 2 ( q ; q ) n ( 1 − z q n ) ,   | z | < 1. {\displaystyle {\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.}

منابع

  • George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. شابک ‎۰−۵۲۱−۸۳۳۵۷−۴.
  • Roelof Koekoek and Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, section 0.2.
  • Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, شابک ‎۰۸۵۳۱۲۴۹۱۴, شابک ‎۰۴۷۰۲۷۴۵۳۰, شابک ‎۹۷۸−۰۴۷۰۲۷۴۵۳۸
  • M.A. Olshanetsky and V.B.K. Rogov (1995), The Modified q-Bessel Functions and the q-Bessel-Macdonald Functions, arXiv:q-alg/9509013.
  • Ramanujan's Lost Notebook: Part I (Pt. 1) ,(2005) Bruce C. Berndt and George E. Andrews,شابک ‎۹۷۸−۰۳۸۷۲۵۵۲۹۳,

شابک ‎۰۳۸۷۲۵۵۲۹X Ramanujan's Lost Notebook: Part II (Pt. 2) ,(2009) Bruce C. Berndt and George E. Andrews,شابک ‎۹۷۸−۰۳۸۷۷۷۷۶۵۸, شابک ‎۰۳۸۷۷۷۷۶۵۲ G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 2008,شابک ‎۹۷۸−۰۱۹۹۲۱۹۸۶۵,شابک ‎۹۷۸۰۱۹۹۲۱۹۸۶۵.

آخرین نظرات
  • شابک
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.