عدد کوانتومی اسپین

با حل یک معادله دیفرانسیل جزیی خاص، تکانه زاویه‌ای کوانتیزه‌شده به صورت زیر به‌دست می‌آید:

که

${\displaystyle \mathbf{s}}$

بردار اسپین کوانتیزه‌شده است

${\displaystyle \Vert \mathbf{s}\Vert }$

نُرمبردار اسپین است

${\displaystyle s}$

عدد کوانتومی اسپین مربوط به تکانه زاویه‌ای اسپین است

${\displaystyle \hslash }$

ثابت پلانک کاهش‌یافته است.

تصویر اسپین روی جهت دلخواه z به این صورت به‌دست می‌آید

که m_s عدد کوانتومی اسپین ثانویه است که مقدار آن در محدوده s− تا s+ در گام‌های واحد تغییر می‌کند. یعنی 2 s + ۱ مقدار مختلف برای m_s وجود دارد.

مقادیر مجاز برای s، تنها اعداد صحیح یا نیمه‌صحیح نامنفی هستند. فرمیون‌ها (مانند الکترون، پروتونیا نوترون) مقادیر اسپین نیمه‌صحیح دارند، در حالیکه بوزون‌ها (مثلاً فوتونیا مزون‌ها) مقادیر اسپین صحیح دارند. اثبات کامل msمساوی با مثبت منفی یک بروی دو

نظریه جبری اسپین در واقع رونوشتی از تکانه زاویه‌ای در مکانیک کوانتومی است. اول از همه، اسپین در رابطه جابه‌جایی بنیادی صدق می‌کند:

${\displaystyle [S_i,S_j]=i\hslash {ϵ}_{ijk}{S}_k}$

، ${\displaystyle \left[S_i,S^2\right]=0}$

که ε_lmn نماد لوی-چیویتا (نامتقارن) است. یعنی به خاطر محدودیت حاصل از اصل عدم قطعیت، غیرممکن است که بتوانیم دو مختصات مختلف از اسپین را در یک زمان بدانیم

دوم اینکه، بردار ویژه‌های ${\displaystyle S^2}$

${\displaystyle S^2|s,m_s⟩={\hslash }^{2}s(s+1)|s,m_s⟩}$

${\displaystyle S_z|s,m_s⟩=\hslash m_s|s,m_s⟩}$

${\displaystyle S_{\pm }|s,m_s⟩=\hslash \sqrt{s(s+1)-m_s(m_s\pm 1)}|s,m_s\pm 1⟩}$

که ${\displaystyle S_{\pm }=S_x\pm i{S}_y}$

اثبات کامل ms مساوی با مثبت منفی یک بروی دو